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ANALISI FUNZIONALE I

Paola CAVALIERE ANALISI FUNZIONALE I

0522200001
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2016/2017

ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2016
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
PAOLA CAVALIERE T Curriculum
Obiettivi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
L’INSEGNAMENTO HA LO SCOPO DI FORNIRE I FONDAMENTI DELL’ANALISI FUNZIONALE. DOPO AVER RICHIAMATO LE NOZIONI DI SPAZIO METRICO, NORMATO E PRE-HILBERTIANO E LE LORO PROPRIETÀ SALIENTI, L’INSEGNAMENTO FORNIRÀ ALLO STUDENTE I CONCETTI FONDAMENTALI E LE VARIE TECNICHE DIMOSTRATIVE NELL’AMBITO DELL’ANALISI DEGLI SPAZI DI BANACH E DI HILBERT E DEGLI OPERATORI LINEARI E LIMITATI. IN PARTICOLARE, SI TRATTERANNO I TEOREMI DI HAHN-BANACH, DELLA CATEGORIA DI BAIRE, DELL’UNIFORME LIMITATEZZA, DELL’APPLICAZIONE APERTA E DEL GRAFO CHIUSO; IL CONCETTO DI DUALITÀ NEGLI SPAZI DI BANACH E DI HILBERT; LA TEORIA SPETTRALE PER GLI OPERATORI COMPATTI IN SPAZI DI BANACH E IL TEOREMA DELL’ALTERNATIVA DI FREDHOLM.
L’INSEGNAMENTO È FINALIZZATO A FAR ACQUISIRE ALLO STUDENTE
-CAPACITÀ DI INTERPRETARE GRAFICAMENTE E ANALITICAMENTE I CONCETTI BASILARI DELL’ANALISI FUNZIONALE;
-SPIRITO CRITICO NELL’APPROCCIO A TALI CONCETTI ED ALLA LORO APPLICABILITÀ;
-CAPACITÀ DI FORMULARE E COMUNICARE I SUDDETTI CONCETTI IN MODO LOGICO E RIGOROSO;
-ATTITUDINE ALL’USO DI TECNICHE DIMOSTRATIVE DIVERSE ED AL RICORSO AD ESEMPI SIGNIFICATIVI;
-ABILITÀ NELL’ANALISI E NELLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI POSTI.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
AL TERMINE DELLE ATTIVITÀ PREVISTE DALL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE AVRÀ
-UNA BUONA CONOSCENZA DEI CONCETTI DI BASE DELL’ANALISI FUNZIONALE;
-ATTITUDINE E CAPACITÀ DI RISOLVERE PROBLEMI ASSEGNATI IN RELAZIONE AI SUDDETTI CONCETTI ED ALLA LORO APPLICAZIONE NELLE SCIENZE APPLICATE;
-LA CAPACITÀ DI COMPRENDERE E COMUNICARE, CON CHIAREZZA ED UN LINGUAGGIO MATEMATICO RIGOROSO, I PRINCIPI DI BASE DELL’ANALISI FUNZIONALE;
-LA CAPACITÀ DI FORNIRE ESEMPI E CONTROESEMPI SIGNIFICATIVI NELL’ILLUSTRARE GLI ARGOMENTI DI ANALISI FUNZIONALE TRATTATI;
-SPIRITO CRITICO TANTO NELLA LETTURA QUANTO NELL’ESPOSIZIONE (ORALE E SCRITTA) DI ENUNCIATI E DIMOSTRAZIONI DEI TEOREMI PIÙ IMPORTANTI, E SARÀ IN GRADO DI SPIEGARE I PASSAGGI CRUCIALI DELLE DIMOSTRAZIONI E, QUALORA SI MODIFICHINO LE IPOTESI, DI COMPRENDERE SE LE CONCLUSIONI E/O SOLUZIONI SIANO O MENO RAGIONEVOLI.
Prerequisiti
È RICHIESTA LA CONOSCENZA DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA E PIU' VARIABILI, DELLA TEORIA DELL'INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE E DEGLI SPAZI METRICI.
Contenuti
RICHIAMI
SPAZI METRICI, SPAZI VETTORIALI NORMATI E SPAZI PREHILBERTIANI. SUCCESSIONI CONVERGENTI E DI CAUCHY, COMPLETEZZA,
COMPATTEZZA, COMPATTEZZA SEQUENZIALE, PRECOMPATTEZZA E COMPATTEZZA
RELATIVA; DENSITÀ E SEPARABILITÀ. CARATTERIZZAZIONE DELLA COMPLETEZZA IN SPAZI VETTORIALI NORMATI. SPAZI DI BANACH E DI HILBERT.

FUNZIONALI ED OPERATORI LINEARI
OPERATORI LINEARI TRA SPAZI VETTORIALI NORMATI. LIMITATEZZA DEGLI OPERATORI LINEARI E CONTINUI TRA SPAZI NORMATI. SPAZIO NORMATO DEGLI OPERATORI LINEARI E CONTINUI E SUA COMPLETEZZA. FUNZIONALI LINEARI E SPAZIO DUALE DI UNO SPAZIO VETTORIALE NORMATO.

I TEOREMI DI HAHN-BANACH.
IPERPIANI. LEMMA DI ZORN. FUNZIONALI SUBLINEARI. FORMA ANALITICA DEL TEOREMA DI HAHN-BANACH. ESISTENZA DI FUNZIONALI LINEARI E CONTINUI. INSIEMI CONVESSI. IPERPIANI AFFINI. FUNZIONALE DI MINKOWSKI. FORME GEOMETRICHE DEL TEOREMA DI HAHN-BANACH.

TEOREMA DI BAIRE E SUE CONSEGUENZE
TEOREMA DI BAIRE. TEOREMA DI UNIFORME LIMITATEZZA PER OPERATORI LINEARI E CONTINUI. TEOREMA DELLA MAPPA APERTA. OPERATORI CHIUSI. TEOREMA DEL GRAFICO CHIUSO.

TOPOLOGIE DEBOLI
TOPOLOGIA GENERATA DA UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI. DEFINIZIONE DELLA TOPOLOGIA DEBOLE SU UNO SPAZIO NORMATO. EQUIVALENZA TRA TOPOLOGIE DEBOLE E FORTE IN SPAZI DI DIMENSIONE FINITA. CHIUSURA DEBOLE DELLA SFERA UNITARIA IN SPAZI DI DIMENSIONE INFINITA. NON METRIZZABILITÀ DELLA TOPOLOGIA DEBOLE IN SPAZI DI DIMENSIONE INFINITA. EQUIVALENZA DELLE CHIUSURE DEBOLE E FORTE PER INSIEMI CONVESSI. TEOREMA DI MAZUR.
SPAZIO BIDUALE E SPAZI RIFLESSIVI. CONTINUITÀ FORTE E DEBOLE DEGLI OPERATORI LINEARI.
DEFINIZIONE DELLA TOPOLOGIA DEBOLE * SU UNO SPAZIO NORMATO. PROPRIETÀ DELLE SUCCESSIONI DEBOLE* CONVERGENTI E TEOREMA DI BANACH-ALAOGLU-BOURBAKI. PROPRIETÀ DEGLI SPAZI RIFLESSIVI (E SEPARABILI): TEOREMA DI KAKUTANI; RIFLESSIVITÀ DI UN SOTTOSPAZIO VETTORIALE CHIUSO DI UNO SPAZIO RIFLESSIVO; TEOREMA DI EBERLEIN-SMULIAN SULL’EQUIVALENZA TRA COMPATTEZZA NEL SENSO DEI RICOPRIMENTI E COMPATTEZZA SEQUENZIALE NELLA TOPOLOGIA DEBOLE DI SPAZI RIFLESSIVI.

SPAZI DI HILBERT
PRODOTTO SCALARE E NORMA INDOTTA. DISUGUAGLIANZE DI CAUCHY-SCHWARZ E DI MINKOWSKI. LEGGE DEL PARALLELOGRAMMA. TEOREMA DELLA PROIEZIONE SU UN CONVESSO. LIPSCHITZIANITÀ DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE. PROIEZIONE SU UN SOTTOSPAZIO VETTORIALE CHIUSO E SUA CARATTERIZZAZIONE. VETTORI ORTOGONALI E TEOREMA DI PITAGORA. SPAZIO ORTOGONALE: PROPRIETÀ, SOMMA DIRETTA DI UN SOTTOSPAZIO E DEL SUO ORTOGONALE, CARATTERIZZAZIONE DEI SOTTOSPAZI DENSI MEDIANTE IL LORO ORTOGONALE. TEOREMA DI RIESZ-FRECHET. RIFLESSIVITÀ DI UNO SPAZIO DI HILBERT. BASI ORTONORMALI E LORO CARATTERIZZAZIONE. ESISTENZA DI UNA BASE NUMERABILE IN UNO SPAZIO DI HILBERT SEPARABILE. TEOREMA DI LAX-MILGRAM.

CLASSI NOTEVOLI DI OPERATORI LINEARI CONTINUI E TEORIA SPETTRALE
OPERATORI AGGIUNTI DI OPERATORI LINEARI. OPERATORI DI RANGO FINITO ED OPERATORI COMPATTI. LO SPAZIO NORMATO DEGLI OPERATORI COMPATTI E SUA CHIUSURA NELLO SPAZIO DEGLI OPERATORI LINEARI E CONTINUI. TEOREMA DI SCHAUDER. OPERATORI COMPATTI IN SPAZI DI HILBERT E TEOREMA DELL’ALTERNATIVA DI FREDHOLM. INSIEME RISOLVENTE E SPETTRO DI UN OPERATORE LINEARE. CARATTERIZZAZIONE DELLO SPETTRO DI UN OPERATORE COMPATTO. CARATTERIZZAZIONE DELLO SPETTRO DI UN OPERATORE AUTOAGGIUNTO. TEOREMA DI HILBERT-SCHMIDT.
Metodi Didattici
IL CORSO PREVEDE UNA PARTE DI LEZIONI DI CARATTERE TEORICO FINALIZZATE ALL’APPRENDIMENTO DELLE NOZIONI DI BASE DELL’ANALISI FUNZIONALE E DELLE VARIE TECNICHE DIMOSTRATIVE UTILIZZATE, E UNA PARTE DI LEZIONI DI TIPO ESERCITATIVO IN CUI SI ILLUSTRERÀ IN CHE MODO LE CONOSCENZE TEORICHE ACQUISITE POSSANO ESSERE UTILIZZATE AL FINE DI RISOLVERE PROBLEMI DI MEDIA DIFFICOLTÀ.
Verifica dell'apprendimento
LA VERIFICA E LA VALUTAZIONE DEL LIVELLO DI APPRENDIMENTO DA PARTE DELLO STUDENTE AVVERRÀ TRAMITE UNA PROVA ORALE.
LO STUDENTE DOVRÀ DIMOSTRARE DI CONOSCERE GLI ARGOMENTI DEL CORSO E DI SAPERLI COLLEGARE FRA LORO.
Testi
H. BREZIS: ANALISI FUNZIONALE: TEORIA ED APPLICAZIONI, LIGUORI, 1986, 419 PAGINE, ISBN: 88-207-1501-5

A. N. KOLMOGOROV – S.V. FOMIN: ELEMENTI DI TEORIA DELLE FUNZIONI E DI ANALISI FUNZIONALE, EDIZIONI MIR, 2012, 536 PAGINE, ISBN: 88-647-3239-X

LO STUDENTE PUÒ COMUNQUE UTILIZZARE OGNI BUON TESTO DI ANALISI FUNZIONALE CHE CONTENGA GLI ARGOMENTI DEL PROGRAMMA, TRATTANDOSI DI UN PROGRAMMA STANDARD. SI CONSIGLIA LO STUDENTE DI VERIFICARE PREVENTIVAMENTE CON IL DOCENTE LA CONGRUITÀ DEL TESTO SCELTO
Altre Informazioni
LA FREQUENZA DEL CORSO, PUR NON ESSENDO OBBLIGATORIA, È FORTEMENTE CONSIGLIATA. PER UNA PREPARAZIONE SODDISFACENTE SONO RICHIESTE, IN MEDIA, ALMENO SEI ORE DI STUDIO SETTIMANALI.

PER QUALSIASI INFORMAZIONE RIGUARDANTE IL CORSO, SI PUÒ CONTATTARE IL DOCENTE AL SUO INDIRIZZO DI POSTA ELETTRONICA.
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2019-03-11]