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TEORIA DELLE FUNZIONI

Paola CAVALIERE TEORIA DELLE FUNZIONI

0512300023
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2017/2018



ANNO CORSO 3
ANNO ORDINAMENTO 2010
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
PAOLA CAVALIERE T Curriculum
Obiettivi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
GLI INSEGNAMENTI DI ANALISI MATEMATICA I E II EVIDENZIANO L’IMPORTANZA DELLA NOZIONE DI LIMITE DI UNA FUNZIONE. L’INGREDIENTE FONDANTE PER LA DEFINIBILITÀ DI TALE OPERAZIONE NON CONSISTE NELLA STRUTTURA LINEARE DEGLI SPAZI EUCLIDEI SU CUI LA FUNZIONE È DEFINITA ED HA VALORI, NÉ TANTOMENO NELLA NOZIONE DI ORTOGONALITÀ DA ESSI POSSEDUTA, BENSÌ NELLA LORO STRUTTURA METRICA, INDOTTA DALLA NORMA EUCLIDEA.
L’INSEGNAMENTO HA LO SCOPO DI INTRODURRE ED ANALIZZARE GLI SPAZI METRICI, ED IN PARTICOLARE DEGLI SPAZI NORMATI, E LE PROPRIETÀ PRINCIPALI, FOCALIZZANDO L’ATTENZIONE SULLA DISAMINA DI SPAZI DI FUNZIONI ED EVIDENZIANDO CHE TALE APPROCCIO ASTRATTO NON SOLO SEMPLIFICA E CHIARIFICA IL VALORE DEI CONCETTI FONDAMENTALI TRATTATI NEI CORSI DI ANALISI DEI PRIMI DUE ANNI, MA CONTRIBUISCE AD ECONOMIZZARE LO SFORZO INTELLETTUALE VOLTO AL LORO APPRENDIMENTO.
LA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI È NECESSARIA AGLI INSEGNAMENTI IN ANALISI DI LIVELLO SUPERIORE.
L’INSEGNAMENTO È FINALIZZATO A FAR ACQUISIRE ALLO STUDENTE
-CAPACITÀ DI INTERPRETARE GRAFICAMENTE E ANALITICAMENTE I CONCETTI BASILARI DELLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI E SPAZI NORMATI;
-SPIRITO CRITICO NELL’APPROCCIO A TALI CONCETTI ED ALLA LORO APPLICABILITÀ NELLO STUDIO DI SPAZI FUNZIONALI;
-CAPACITÀ DI FORMULARE E COMUNICARE I SUDDETTI CONCETTI IN MODO LOGICO E RIGOROSO;
-ATTITUDINE ALL’USO DI TECNICHE DIMOSTRATIVE DIVERSE ED AL RICORSO AD ESEMPI SIGNIFICATIVI;
-ABILITÀ NELL’ANALISI E NELLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI POSTI IN SPAZI DI FUNZIONI.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
TERMINATE CON SUCCESSO LE ATTIVITÀ PREVISTE DALL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI
OCONOSCENZA E COMPRENSIONE
DEFINIRE E FORMULARE I CONCETTI FONDAMENTALI DELLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI E DEGLI SPAZI NORMATI QUALI QUELLI DI COMPATTEZZA, CONNESSIONE E COMPLETEZZA;
ILLUSTRARE I PRINCIPALI TEOREMI DEGLI SPAZI METRICI E DEGLI SPAZI NORMATI, ED UTILIZZARLI NELLA DISAMINA DI PROBLEMI COMCRETI;
DIMOSTRARE I RISULTATI (PROPOSIZIONI E TEOREMI) FONDAMENTALI TRATTATI DURANTE IL CORSO.
OABILITÀ INTELLETTUALI
APPLICARE CONCETTI ASTRATTI E PIÙ SOFISTICATI TANTO A CONTESTI NOTI QUANTO A NUOVI CONTESTI;
OPERARE CON CONCETTI ASTRATTI ED IN CONTESTI GENERALI;
RAGIONARE LOGICAMENTE E ESPORRE ANALITICAMENTE I CONCETTI ACQUISITI;
RAGGIUNGERE ALTI LIVELLI DI ACCURATEZZA;
UTILIZZARE LE COMPETENZE ACQUISITE IN VARI AMBITI DELL’ANALISI MODERNA.
OABILITÀ PROFESSIONALI
SELEZIONARE ED APPLICARE METODI E TECNICHE APPROPRIATE ALLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI;
GIUSTIFICARE CONCLUSIONI USANDO ARGOMENTAZIONI MATEMATICHE CON RIGORE;
COMUNICARE RISULTATI UTILIZZANDO IN MODO APPROPRIATO CONVENZIONI E TERMINOLOGIA.
OCOMPETENZE TRASFERIBILI
COMUNICARE CON CHIAREZZA;
LAVORARE EFFICACEMENTE, INDIPENDENTEMENTE O IN GRUPPO;
ANALIZZARE E RISOLVERE CON ACCURATEZZA PROBLEMI DI MEDIA DIFFICOLTÀ.
Prerequisiti
È RICHIESTA LA CONOSCENZA DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA E PIU' VARIABILI E DELL’ALGEBRA LINEARE.
Contenuti
SPAZI METRICI E SPAZI VETTORIALI NORMATI: METRICHE SU UN INSIEME. NORME E PRODOTTI SCALARI SU SPAZI VETTORIALI. SPAZI VETTORIALI NORMATI E PREHILBERTIANI. NOZIONI DEFINIBILI IN SPAZI METRICI: DISTANZA DA UN INSIEME, SFERE IN UNO SPAZIO METRICO, DIAMETRO DI UN INSIEME, INSIEMI LIMITATI E TOTALMENTE LIMITATI, SUCCESSIONI DI CAUCHY; INSIEMI APERTI E CHIUSI, INTERNO, CHIUSURA E FRONTIERA DI UN INSIEME, INSIEMI DENSI. SPAZI METRICI SEPARABILI. SPAZI NORMATI DI DIMENSIONE FINITA.

FUNZIONI CONTINUE
FUNZIONI CONTINUE ED OPERATORI LINEARI CONTINUI. FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE. FUNZIONI LIPSCHITZIANE, ISOMETRIE E CONTRAZIONI. FUNZIONI HÖLDERIANE. SPAZI NORMATI INFINITO DIMENSIONALI ED ESEMPI NOTEVOLI.

LA NOZIONE DI COMPLETEZZA IN SPAZI METRICI: SPAZI METRICI COMPLETI E SPAZI DI BANACH. ESEMPI. COMPLETAMENTO DI UNO SPAZIO METRICO. METRICHE EQUIVALENTI. TEOREMA DI BAIRE. TEOREMA DI PUNTO FISSO DI BANACH ED APPLICAZIONI.

LA NOZIONE DI CONNESSIONE E DI COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI: INSIEMI CONNESSI, E LORO IMMAGINI CONTINUE. INSIEMI COMPATTI E SEQUENZIALMENTE COMPATTI. COMPATTEZZA IN SPAZI FINITO DIMENSIONALI. CARATTERIZZAZIONI DELLA COMPATTEZZA. FUNZIONI CONTINUE E COMPATTEZZA. TEOREMI DI WEIESTRASS E DI CANTOR. ESTENSIONE DI FUNZIONI CONTINUE ED UNIFORMEMENTE CONTINUE.
CRITERI DI COMPATTEZZA NELLO SPAZIO DELLE FUNZIONI CONTINUE: FUNZIONI EQUICONTINUE E TEOREMA DI ASCOLI-ARZELÀ.



Metodi Didattici
IL CORSO PREVEDE UNA PARTE DI LEZIONI DI CARATTERE TEORICO FINALIZZATE ALL’APPRENDIMENTO DELLE NOZIONI DI BASE DELLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI E NORMATI E DELLE VARIE TECNICHE DIMOSTRATIVE UTILIZZATE, E UNA PARTE DI LEZIONI DI TIPO ESERCITATIVO IN CUI SI ILLUSTRERÀ IN CHE MODO LE CONOSCENZE TEORICHE ACQUISITE POSSANO ESSERE UTILIZZATE AL FINE DI RISOLVERE PROBLEMI DI MEDIA DIFFICOLTÀ.
Verifica dell'apprendimento
LA VERIFICA E LA VALUTAZIONE DEL LIVELLO DI APPRENDIMENTO DA PARTE DELLO STUDENTE AVVERRÀ TRAMITE UNA PROVA ORALE.
LO STUDENTE DOVRÀ DIMOSTRARE DI CONOSCERE GLI ARGOMENTI DEL CORSO E DI SAPERLI COLLEGARE FRA LORO.
Testi
M. GIAQUINTA, G. MODICA: ANALISI MATEMATICA 3. STRUTTURE LINEARI E METRICHE, CONTINUITÀ, PITAGORA, 2000, 426 PAGINE, ISBN: 88-371-1198-3

LO STUDENTE PUÒ COMUNQUE UTILIZZARE OGNI BUON TESTO CHE CONTENGA GLI ARGOMENTI DEL PROGRAMMA, TRATTANDOSI DI UN PROGRAMMA STANDARD. SI CONSIGLIA LO STUDENTE DI VERIFICARE PREVENTIVAMENTE CON IL DOCENTE LA CONGRUITÀ DEL TESTO SCELTO
Altre Informazioni
LA FREQUENZA DEL CORSO, PUR NON ESSENDO OBBLIGATORIA, È FORTEMENTE CONSIGLIATA. PER UNA PREPARAZIONE SODDISFACENTE SONO RICHIESTE, IN MEDIA, ALMENO SEI ORE DI STUDIO SETTIMANALI.

PER QUALSIASI INFORMAZIONE RIGUARDANTE IL CORSO, SI PUÒ CONTATTARE IL DOCENTE AL SUO INDIRIZZO DI POSTA ELETTRONICA.
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2019-05-14]