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TEORIA DELLE FUNZIONI

Paola CAVALIERE TEORIA DELLE FUNZIONI

0512300023
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2023/2024

ANNO CORSO 3
ANNO ORDINAMENTO 2018
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
PAOLA CAVALIERE T Curriculum
Obiettivi
L’ESPERIENZA ACQUISITA DALLO STUDIO DELL’ANALISI MATEMATICA DEL PRIMO BIENNIO EVIDENZIA L’IMPORTANZA DELLA NOZIONE DI PASSAGGIO AL LIMITE. ALLA BASE DELLA SUA DEFINIBILITÀ VI È LA NOZIONE DI DISTANZA TRA DUE PUNTI DEL DOMINIO, E NON LE SUE PROPRIETÀ ALGEBRICHE.
IL CORSO CONSISTE IN UN’INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI (INCLUDENDO GLI SPAZI VETTORIALI NORMATI E QUELLI DOTATI DI PRODOTTO SCALARE), INSIEMI NON VUOTI SU CUI È ASSEGNATA UNA FUNZIONE DISTANZA, PONENDO L’ACCENTO SULLE PROPRIETÀ ANALITICHE E TOPOLOGICHE FONDAMENTALI QUALI LA COMPLETEZZA, LA COMPATTEZZA E LA CONTINUITÀ DI FUNZIONI FRA SPAZI METRICI.
LE CONOSCENZE PREVISTE DAL PROGRAMMA DEL CORSO NON SOLO PREPARANO LO STUDENTE AI CORSI AVANZATI DI ANALISI DELLE LAUREE DI SECONDO LIVELLO MA RISULTANO UTILI IN VARI AMBITI DELLA MATEMATICA PURA ED APPLICATA, COME LA TOPOLOGIA, LA GEOMETRIA, LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI, IL CALCOLO SCIENTIFICO, E L’OTTIMIZZAZIONE.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:

L’INSEGNAMENTO È FINALIZZATO A FAR ACQUISIRE ALLO STUDENTE
1. CAPACITÀ DI INTERPRETARE GRAFICAMENTE E ANALITICAMENTE I CONCETTI BASILARI DELLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI E SPAZI NORMATI; 2. SPIRITO CRITICO NELL’APPROCCIO A TALI CONCETTI ED ALLA LORO APPLICABILITÀ NELLO STUDIO DI SPAZI FUNZIONALI; 3. CAPACITÀ DI FORMULARE E COMUNICARE I SUDDETTI CONCETTI IN MODO LOGICO E RIGOROSO; 4. ATTITUDINE ALL’USO DI DIVERSE TECNICHE DIMOSTRATIVE ED AL RICORSO AD ESEMPI SIGNIFICATIVI; 5. ABILITÀ NELL’ANALISI E NELLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI POSTI IN SPAZI DI FUNZIONI.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:

TERMINATE CON SUCCESSO LE ATTIVITÀ PREVISTE DALL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI
- CONOSCENZA E COMPRENSIONE APPLICATE: 1. DEFINIRE E FORMULARE I CONCETTI FONDAMENTALI DELLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI E DEGLI SPAZI NORMATI; 2. ILLUSTRARE I PRINCIPALI TEOREMI DEGLI SPAZI METRICI E DEGLI SPAZI NORMATI, ED UTILIZZARLI NELLA DISAMINA DI PROBLEMI CONCRETI; 3. DIMOSTRARE I RISULTATI (PROPOSIZIONI E TEOREMI) FONDAMENTALI TRATTATI DURANTE IL CORSO.
- ABILITÀ INTELLETTUALI ED AUTONOMIA DI GIUDIZIO: 1. APPLICARE CONCETTI ASTRATTI E PIÙ SOFISTICATI TANTO A CONTESTI NOTI QUANTO A NUOVI CONTESTI; 2. OPERARE CON CONCETTI ASTRATTI ED IN CONTESTI GENERALI; 3. RAGIONARE LOGICAMENTE E ESPORRE ANALITICAMENTE I CONCETTI ACQUISITI; 4. RAGGIUNGERE ALTI LIVELLI DI ACCURATEZZA; 5. UTILIZZARE LE COMPETENZE ACQUISITE IN VARI AMBITI DELL’ANALISI MODERNA.
- ABILITÀ COMUNICATIVE, DI APPRENDIMENTO E PROFESSIONALI: 1. SELEZIONARE ED APPLICARE METODI E TECNICHE APPROPRIATE ALLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI; 2. GIUSTIFICARE CONCLUSIONI USANDO ARGOMENTAZIONI MATEMATICHE CON RIGORE; 3. COMUNICARE RISULTATI UTILIZZANDO IN MODO APPROPRIATO CONVENZIONI E TERMINOLOGIA. 4. COMUNICARE CON CHIAREZZA; 5. LAVORARE EFFICACEMENTE, INDIPENDENTEMENTE O IN GRUPPO; 6. ANALIZZARE E RISOLVERE CON ACCURATEZZA PROBLEMI DI MEDIA DIFFICOLTÀ.
Prerequisiti
È RICHIESTA LA CONOSCENZA DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA E PIU' VARIABILI E DELL’ALGEBRA LINEARE.
Contenuti
SPAZI METRICI E SPAZI VETTORIALI NORMATI (12 ORE): METRICHE SU UN INSIEME. NORME E PRODOTTI SCALARI SU SPAZI VETTORIALI. ALCUNE DISUGUAGLIANZE FONDAMENTALI. SPAZI VETTORIALI NORMATI E PREHILBERTIANI. ESEMPI NOTEVOLI. NOZIONI DEFINIBILI IN SPAZI METRICI: DISTANZA DA UN INSIEME, SFERE, DIAMETRO DI UN INSIEME, INSIEMI LIMITATI E TOTALMENTE LIMITATI, SUCCESSIONI DI CAUCHY; INSIEMI APERTI E CHIUSI, INTERNO, CHIUSURA E FRONTIERA DI UN INSIEME, INSIEMI DENSI. SPAZI METRICI SEPARABILI. SPAZI NORMATI DI DIMENSIONE FINITA.

FUNZIONI CONTINUE (8 ORE): FUNZIONI CONTINUE. METRICHE TOPOLOGICAMENTE EQUIVALENTI. ISOMETRIE. OPERATORI LINEARI LIMITATI E CARATTERIZZAZIONI. FUNZIONI UNIFORMEMENTE CONTINUE. FUNZIONI LIPSCHITZIANE E CONTRAZIONI. FUNZIONI HÖLDERIANE. SPAZI NORMATI INFINITO DIMENSIONALI ED ESEMPI NOTEVOLI. METRICHE EQUIVALENTI SECONDO LIPSCHITZ.

LA NOZIONE DI COMPLETEZZA IN SPAZI METRICI (10 ORE): SPAZI METRICI COMPLETI E SPAZI DI BANACH. ESEMPI NOTEVOLI. COMPLETAMENTO DI UNO SPAZIO METRICO E DI UNO SPAZIO NORMATO. NORME EQUIVALENTI. TEOREMA DI PUNTO FISSO DI BANACH-CACCIOPPOLI ED APPLICAZIONI.

LA NOZIONE DI COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI (14 ORE): INSIEMI COMPATTI E SEQUENZIALMENTE COMPATTI. COMPATTEZZA IN SPAZI FINITO DIMENSIONALI. CARATTERIZZAZIONI DELLA COMPATTEZZA. FUNZIONI CONTINUE E COMPATTEZZA. TEOREMI DI WEIESTRASS E DI CANTOR. ESTENSIONE DI FUNZIONI CONTINUE ED UNIFORMEMENTE CONTINUE.
CRITERI DI COMPATTEZZA NELLO SPAZIO DELLE FUNZIONI CONTINUE (4 ORE): FUNZIONI EQUICONTINUE E TEOREMA DI ASCOLI-ARZELÀ. APPLICAZIONI.
Metodi Didattici
IL CORSO PREVEDE UNA PARTE DI LEZIONI DI CARATTERE PURAMENTE TEORICO FINALIZZATE ALL’APPRENDIMENTO DELLE NOZIONI DI BASE DELLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI E NORMATI E DELLE VARIE TECNICHE DIMOSTRATIVE UTILIZZATE, E UNA PARTE DI LEZIONI DI TIPO TEORICO-APPLICATIVO IN CUI SI ILLUSTRERÀ COME LE CONOSCENZE TEORICHE ACQUISITE POSSANO ESSERE UTILIZZATE AL FINE DI RISOLVERE PROBLEMI DI MEDIA DIFFICOLTÀ. IN QUEST’ULTIME SI EVIDENZIERÀ COME L’APPROCCIO ASTRATTO DELLA TEORIA DEGLI SPAZI METRICI E NORMATI NON SOLO SEMPLIFICA E CHIARIFICA IL VALORE DEI CONCETTI FONDAMENTALI TRATTATI NEI CORSI DI ANALISI DEL PRIMO BIENNIO, MA CONTRIBUISCE AD ECONOMIZZARE LO SFORZO INTELLETTUALE VOLTO AL LORO APPRENDIMENTO.
Verifica dell'apprendimento
LA PROVA D’ESAME MIRA A VERIFICARE L’ACQUISIZIONE DELLE CONOSCENZE PREVISTE DAL PROGRAMMA DEL CORSO ED È UNA PROVA ORALE O UNA PROVA TEORICA SCRITTA, A SCELTA DELLO STUDENTE. DURANTE LA PROVA SCRITTA NON È CONSENTITO L’USO DI LIBRI, APPUNTI O SUPPORTI ELETTRONICI.
LO STUDENTE DOVRÀ DIMOSTRARE LA SUA CAPACITA’ DI ESPORRE CON CHIAREZZA, RIGORE E COERENZA I CONCETTI FONDAMENTALI DEL CORSO.
VERRA’ VALUTATO IL GRADO DI PROFONDITA’ RAGGIUNTO NELLO STUDIO DEGLI ASPETTI TEORICI DELLA DISCIPLINA E L’ABILITA’ AD APPLICARE LE CONOSCENZE ACQUISITE.
IL PUNTEGGIO FINALE MINIMO DI 18/30 VIENE RAGGIUNTO QUANDO LO STUDENTE DIMOSTRA CONOSCENZA DEL PROGRAMMA DELL’ESAME, CON LA SOLA ECCEZIONE DELLE DIMOSTRAZIONI. IL PUNTEGGIO FINALE MASSIMO DI 30/30 VIENE RAGGIUNTO QUANDO LO STUDENTE DIMOSTRA UN CONTROLLO COMPLETO DEGLI ASPETTI SIA TEORICI CHE APPLICATIVI DEGLI ARGOMENTI STUDIATI, E LA LODE VIENE ATTRIBUITA QUANDO LO STUDENTE MANIFESTA ANCHE UN'ELEVATA CAPACITÀ DI ELABORAZIONE AUTONOMA.
Testi
M. GIAQUINTA, G. MODICA: ANALISI MATEMATICA 3. STRUTTURE LINEARI E METRICHE, CONTINUITÀ, PITAGORA, 2000, 426 PAGINE, ISBN: 88-371-1198-3

LO STUDENTE PUÒ COMUNQUE UTILIZZARE OGNI BUON TESTO CHE CONTENGA GLI ARGOMENTI DEL PROGRAMMA, TRATTANDOSI DI UN PROGRAMMA STANDARD. SI CONSIGLIA LO STUDENTE DI VERIFICARE PREVENTIVAMENTE CON IL DOCENTE LA CONGRUITÀ DEL TESTO SCELTO.
IL LIBRO DI TESTO VERRÀ COMUNQUE AFFIANCATO DA ULTERIORE MATERIALE DIDATTICO FORNITO DAL DOCENTE DURANTE IL CORSO.
Altre Informazioni
PER QUALSIASI INFORMAZIONE RIGUARDANTE IL CORSO, SI PUÒ CONTATTARE IL DOCENTE AL SUO INDIRIZZO DI POSTA ELETTRONICA.
LA FREQUENZA DEL CORSO È CONSIGLIATA. PER UNA PREPARAZIONE SODDISFACENTE SONO RICHIESTE, IN MEDIA, ALMENO QUATTRO ORE DI STUDIO SETTIMANALI.
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2024-11-05]