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GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Fabrizio PUGLIESE GEOMETRIA DIFFERENZIALE

0522200008
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2015/2016

ANNO CORSO 2
ANNO ORDINAMENTO 2010
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
FABRIZIO PUGLIESE T Curriculum
Obiettivi
- CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: SCOPO DEL CORSO È DI FORNIRE GLI ELEMENTI DI BASE DELLA MODERNA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, IN PARTICOLARE: TOPOLOGIA DIFFERENZIALE E CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE SULLE VARIETÀ DIFFERENZIABILI, GEOMETRIA RIEMANNIANA E TEORIA DEI GRUPPI DI LIE. SI È CERCATO DI DARE AL PROGRAMMA, NECESSARIAMENTE RISTRETTO DATI I LIMITI DI TEMPO E LE CONOSCENZE PRELIMINARI DEGLI STUDENTI, LA MAGGIORE ORGANICITÀ E COERENZA POSSIBILI, IN MODO CHE LO STUDENTE ABBIA, AL TERMINE DEL CORSO, UN'IDEA CHIARA DI QUALI SIANO LE IDEE FONDAMENTALI E POSSA, SE LO DESIDERA, APPROFONDIRE AUTONOMAMENTE LO STUDIO DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE CONSULTANDO LA VASTISSIMA LETTERATURA SULL'ARGOMENTO.

- CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: OBIETTIVO PRINCIPALE DEL CORSO È DI METTERE IN GRADO LO STUDENTE DI APPLICARE CONCRETAMENTE I CONCETTI, I TEOREMI E LE TECNICHE DI CALCOLO APPRESE; A QUESTO SCOPO VERRANNO SVOLTE NUMEROSE ESERCITAZIONI IN CUI LE
NOZIONI TEORICHE "ASTRATTE" SARANNO APPLICATE IN DIVERSI CONTESTI "CONCRETI", AD ESEMPIO: LA TEORIA DELLE VARIETÀ DIFFERENZIALI SI APPLICA AL CALCOLO SULLE SOTTOVARIETÀ DI R^N; LA GEOMETRIA RIEMANNIANA È ESEMPLIFICATA DALLA GEOMETRIA INTRINSECA DELLE SUPERFICI IN R^3; LA TEORIA DEI GRUPPI DI LIE VIENE SVOLTA AVENDO SEMPRE PRESENTE IL CASO CONCRETO DEI SOTTOGRUPPI LINEARI DI GL(N,R); ECC.

- AUTONOMIA DI GIUDIZIO: FRA GLI OBIETTIVI PRINCIPALI DEL CORSO C'È QUELLO DI RENDERE LO STUDENTE QUANTO PIÙ POSSIBILE AUTONOMO E DI AIUTARLO A SVILUPPARE IL SUO SENSO CRITICO E LA CAPACITÀ DI INDIVIDUARE DA SÈ QUALI SIANO LE IDEE IMPORTANTI E GLI ARGOMENTI CHE POTREBBE VALERE LA PENA DI APPROFONDIRE IN STUDI SUCCESSIVI. A QUESTO SCOPO, NELLE ESERCITAZIONI, VERRANNO PROPOSTI, OLTRE A ESERCIZI STANDARD, ANCHE ALCUNI ARGOMENTI DI TEORIA DA SVOLGERE SOTTO FORMA DI PROBLEMI.

- ABILITÀ COMUNICATIVE: NEL CORSO VENGONO FORNITI ALLO STUDENTE GLI STRUMENTI LINGUISTICO/MATEMATICI ATTI A CONSENTIRGLI DI COMUNICARE CON SEMPLICITÀ E PRECISIONE ARGOMENTI AVANZATI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE.

- CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: TRA GLI SCOPI DEL CORSO C'È QUELLO DI AFFINARE LE FACOLTÀ ANALITICHE DELLO STUDENTE, LA SUA FLESSIBILITÀ MENTALE NELL'AFFRONTARE CONCETTI NUOVI E ALQUANTO IMPEGNATIVI, METTENDOLI IN COLLEGAMENTO CON LE NOZIONI DI ANALISI E GEOMETRIA
DIFFERENZIALE CLASSICA CHE LI HANNO ORIGINATI, E CHE EGLI GIÀ CONOSCE DAI CORSI DELLA LAUREA TRIENNALE. A VOLTE, I DETTAGLI DI ALCUNE DIMOSTRAZIONI VERRANNO LASCIATI ALLO STUDENTE, IN PARTICOLARE IN QUEI CASI IN CUI ESSI RICALCANO PROCEDIMENTI GIÀ VISTI IN
DIMOSTRAZIONI PRECEDENTI; SI CERCHERÀ, IN TAL MODO, DI
SPINGERE LO STUDENTE AD ABBANDONARE QUELL'ATTEGGIAMENTO PASSIVO CHE È SPESSO IL PRINCIPALE OSTACOLO ALLA SUA MATURAZIONE SCIENTIFICA.

Prerequisiti
I PREREQUISITI NECESSARI SONO LE CONOSCENZE DI BASE DI ANALISI MATEMATICA, ALGEBRA LINEARE ED ALGEBRA ASTRATTA IMPARTITE NEI CORSI OBBLIGATORI DI ANALISI, GEOMETRIA E ALGEBRA DELLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA.
Contenuti
[1] RICHIAMI DI TOPOLOGIA E CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIÙ VARIABILI REALI. ***

[2] VARIETÀ DIFFERENZIABILI: MOTIVAZIONE, DEFINIZIONE, ESEMPI; ALGEBRA DELLE FUNZIONI DIFFERENZIABILI; APPLICAZIONI DIFFERENZIABILI. ***

[3] VETTORI E COVETTORI TANGENTI; DIFFERENZIALE DI FUNZIONI E APPLICAZIONI DIFFERENZIABILI; PUNTI CRITICI DI FUNZIONI E LORO CLASSIFICAZIONE (HESSIANO, LEMMA DI MORSE); CLASSIFICAZIONE DELLE APPLICAZIONI TRAMITE IL RANGO (IMMERSIONI, SUMMERSIONI, DIFFEOMORFISMI); SOTTOVARIETÀ REGOLARI E IMMERSE; TEOREMA SULLE FIBRE DELLE SUMMERSIONI. ***

[4] FIBRATI VETTORIALI E LORO SEZIONI; FIBRATI TANGENTE E COTANGENTE; CAMPI VETTORIALI E FORME DIFFERENZIALI LINEARI; PARENTESI DI LIE; CAMPI VETTORIALI PROIETTABILI; VARIETÀ QUOZIENTE; FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE; COMPLETEZZA DEI FLUSSI SU VARIETÀ COMPATTE; DERIVATA DI LIE; CAMPI VETTORIALI LINEARI, LINEARIZZAZIONE DI UN CAMPO VETTORIALE IN UN PUNTO CRITICO, CLASSIFICAZIONE DELLE SINGOLARITÀ DEI CAMPI VETTORIALI SU UNA SUPERFICIE; DISTRIBUZIONI (= SOTTOFIBRATI TANGENTI) E LORO VARIETÀ INTEGRALI, CONDIZIONE D'INTEGRABILITÀ COMPLETA DI LIE. ***

[5] ELEMENTI DI ALGEBRA MULTILINEARE (TENSORI, FORME SIMMETRICHE ED ESTERNE, ALGEBRA ESTERNA). ***

[6] FORME DIFFERENZIALI; DERIVATA ESTERNA; FORMULA DI CARTAN; DERIVATA DI LIE DI UNA FORMA ESTERNA LUNGO UN CAMPO VETTORIALE; FORMULA DI STOKES INFINITESIMALE; CRITERIO DI FROBENIUS PER L'INTEGRABILITÀ COMPLETA DI UNA DISTRIBUZIONE. ***

[7] VARIETÀ ORIENTATE; VARIETÀ CON BORDO; INTEGRAZIONE DI UNA N-FORMA SU UNA N-VARIETÀ; PARTIZIONI DELL'UNITÀ; TEOREMA DI STOKES; FORME CHIUSE ED ESATTE; GRUPPI DI COOMOLOGIA DI DE RHAM E LORO CALCOLO IN ALCUNI CASI ELEMENTARI; LEMMA DI POINCARE; INVARIANZA OMOTOPICA DELLA COOMOLOGIA DI DE RHAM; APPLICAZIONE DELLA FORMULA DI STOKES ALL'ANALISI VETTORIALE CLASSICA (TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE). ***

[8] ELEMENTI DI GEOMETRIA RIEMANNIANA: CONNESSIONI LINEARI (DERIVAZIONE COVARIANTE, TRASPORTO PARALLELO E GEODETICHE; TENSORI DI TORSIONE E DI CURVATURA; MAPPA ESPONENZIALE E COORDINATE NORMALI); METRICA RIEMANNIANA E CONNESSIONE DI LEVI-CIVITA; PROPRIETÀ DI MINIMO DELLE GEODETICHE ***

[9] CENNI SUI GRUPPI DI LIE: DEFINIZIONE ED ESEMPI; CAMPI VETTORIALI E FORME DIFFERENZIALI INVARIANTI, SOTTOGRUPPI DI LIE A UN PARAMETRO; ALGEBRA DI LIE DI UN GRUPPO DI LIE; MAPPA ESPONENZIALE; OMOMORFISMI FRA GRUPPI DI LIE E LORO DIFFERENZIALI; RAPPRESENTAZIONE AGGIUNTA DI UN GRUPPO DI LIE E DELLA SUA ALGEBRA DI LIE.
Metodi Didattici
LEZIONI FRONTALI
Verifica dell'apprendimento
L'ESAME FINALE CONSISTERÀ IN: 1) UNA PROVA ORALE TRADIZIONALE SULLA PARTE DEL PROGRAMMA COMPRESA NEI PUNTI [2]-[9], VOLTA A VERIFICARE L'EFFETTIVA ASSIMILAZIONE, DA PARTE DEL CANDIDATO, DELLE NOZIONI TEORICHE; 2) LO SVOLGIMENTO DI QUALCHE SEMPLICE ESERCIZIO PER TESTARE LA CAPACITÀ DEL CANDIDATO DI APPLICARE CONCRETAMENTE LA TEORIA E VALUTARNE IL GRADO DI SICUREZZA E SCIOLTEZZA NELL'USO DELLE VARIE TECNICHE DI CALCOLO. A QUESTO RIGUARDO, DURANTE TUTTO IL CORSO VERRANNO ASSEGNATI AGLI STUDENTI DEI SEMPLICI ESERCIZI DI AUTOVERIFICA DA SVOLGERE A CASA; INOLTRE, DURANTE LE ESERCITAZIONI IN AULA GLI STUDENTI VERRANO SPESSO CHIAMATI ALLA LAVAGNA PER PROVARE A SVOLGERE, CON L'AIUTO DEL DOCENTE, GLI ESERCIZI PROPOSTI.
Testi
M. ABATE, F. TOVENA: GEOMETRIA DIFFERENZIALE (SPRINGER, COLL. UNITEXT, 2011)

F. WARNER: FOUNDATIONS OF DIFFERENTIABLE MANIFOLDS AND LIE GROUPS (SPRINGER, COLL. GTM, 1983)

M.M POSTNIKOV: SMOOTH MANIFOLDS (MIR, 1989)

M. DO CARMO: RIEMANNIAN GEOMETRY (BIRKHAUSER, 1993)

D. ALEKSEEVSKY, V. LYCHAGIN, A. VINOGRADOV: GEOMETRY I (EMS 28, SPRINGER, 1991)

IN INGLESE:

M. ABATE, F. TOVENA: GEOMETRIA DIFFERENZIALE (SPRINGER, COLL. UNITEXT, 2011)

F. WARNER: FOUNDATIONS OF DIFFERENTIABLE MANIFOLDS AND LIE GROUPS (SPRINGER, COLL. GTM, 1983)

M.M POSTNIKOV: SMOOTH MANIFOLDS (MIR, 1989)

M. DO CARMO: RIEMANNIAN GEOMETRY (BIRKHAUSER, 1993)

D. ALEKSEEVSKY, V. LYCHAGIN, A. VINOGRADOV: GEOMETRY I (EMS 28, SPRINGER, 1991)
Altre Informazioni
NESSUNA
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2016-09-30]