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GEOMETRIA III

Annamaria MIRANDA GEOMETRIA III

0512300009
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2016/2017



OBBLIGATORIO
ANNO CORSO 2
ANNO ORDINAMENTO 2010
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
ANNAMARIA MIRANDA T Curriculum
Obiettivi
OBIETTIVI FORMATIVI

CHE COS’E’ UNA GEOMETRIA? IL CORSO DI GEOMETRIA III E’ PENSATO PER DARE RISPOSTA A QUESTA NATURALE DOMANDA MEDIANTE LA COSTRUZIONE DI ESEMPI DI GEOMETRIE NEL SENSO DEL PROGRAMMA DI ERLANGEN DI F. KLEIN.
UN ALTRO SCOPO E’ DI PRESENTARE LA GEOMETRIA EUCLIDEA E QUELLA IPERBOLICA ENTRAMBE COME UN “GIOCO DI SPECCHI” PER SUSCITARE CURIOSITA’ ED INTERESSE ATTORNO A TEOREMI GENERALMENTE CONSIDERATI DIFFICILI.

-CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE
UN OBIETTIVO DEL CORSO E’ L’APPROFONDIMENTO DELLA CONOSCENZA E DELLA COMPRENSIONE DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA AFFINANDO L’ “OCCHIO EUCLIDEO” IN PARTICOLARE IN DIMENSIONE DUE E TRE. UN ALTRO CONTEMPORANEO OBIETTIVO FORMATIVO TESO ALLA CADUTA DI PREGIUDIZI VISIVI CONSISTE NELL’ INTERPRETARE UNA STESSA REALTA’ GUARDANDOLA CON “OCCHIO AFFINE “ O ANCHE CON “OCCHIO AFFINE CONFORME”. UN ALTRO TEMA E’ LA COSTRUZIONE DI MODELLI DI GEOMETRIE PIANE NON¬-EUCLIDEE DI TIPO IPERBOLICO COME IL PIANO ED IL SEMIPIANO DI POINCARÉ E DI TIPO ELLITTICO COME IL PIANO PROIETTIVO REALE. A QUESTI TEMI SI AGGIUNGE LO STUDIO DELLE CONICHE, CON RELATIVA CLASSIFICAZIONE PROIETTIVA, AFFINE E METRICA, CHE HA COME SCOPO LA RIFORMULAZIONE IN TERMINI ANALITICI DI PROPRIETA’ DI NATURA SINTETICA MEDIANTE L’UTILIZZO DI CONOSCENZE MATEMATICHE GIA’ ACQUISITE. GLI ARGOMENTI, GLI STRUMENTI E I METODI SONO ORGANIZZATI PER INTEGRARE ESPERIENZA, CONOSCENZA, APPRENDIMENTO E CURIOSITA’. PROBLEMI VENGONO PROPOSTI E APPROCCI TIPICI DELLA MATEMATICA VENGONO CONSIGLIATI PER MIGLIORARE LE CAPACITA’ APPLICATIVE E DI INVENZIONE NELLA DIMOSTRAZIONE.
ALLA FINE DEL CORSO GLI STUDENTI DOVRANNO :
• AVER ACQUISITO I CONCETTI FONDAMENTALI IN ESSO PROPOSTI, QUALI PER ESEMPIO LA GEOMETRIA EUCLIDEA E LE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE IPERBOLICHE ED ELLITTICHE
• AVER BEN COMPRESO LE RELAZIONI TRA QUESTI E LE TECNICHE UTILIZZATE PER ACQUISIRLE, COME PER ESEMPIO NELLA COSTRUZIONE DI MODELLI DI GEOMETRIE NON-EUCLIDEE
• AVERE UNA APPROFONDITA CONOSCENZA E COMPRENSIONE DEL MONDO EUCLIDEO MA SAPER USARE ANCHE L’OCCHIO PROIETTIVO E L’OCCHIO AFFINE ED ALTRI OCCHIALI
• GUARDARE ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA ED IPERBOLICA COME UN “GIOCO DI SPECCHI”
-CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
ALLA FINE DEL CORSO GLI STUDENTI DOVRANNO ESSERE IN GRADO DI :
• DIMOSTRARE UN USO EFFICIENTE DELLE TECNICHE PROPOSTE, APPLICANDOLE ALLA COSTRUZIONE DI ESEMPI SIGNIFICATIVI E ALLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI ED ESERCIZI
• ANALIZZARE PROBLEMI, SPIEGARE CON CHIAREZZA CONCETTI E DIMOSTRARE PROPOSIZIONI EVIDENZIANDO LA STRATEGIA DIMOSTRATIVA.
Prerequisiti
GRUPPI. SPAZI VETTORIALI DI DIMENSIONE FINITA. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI. MAPPE LINEARI E MATRICI.FORME BILINEARI E FORME QUADRATICHE. DIAGONALIZZAZIONE.
Contenuti
CHE COS’E’ UNA GEOMETRIA? IL PROGRAMMA DI ERLANGEN DI KLEIN. SPAZI DI STRUTTURA. GRUPPO STRUTTURALE. L’ALGEBRA LINEARE. LA GEOMETRIA AFFINE.
ENDOMORFISMI ORTOGONALI DI RN. GLI ENDOMORFISMI ORTOGONALI DEL PIANO. TEOREMA DI DECOMPOSIZIONE DI CARTÀN-DIEUDONNÉ. ENDOMORFISMI ORTOGONALI DI R3. IL TEOREMA DI EULERO. IL TEOREMA DI CARTÀN-DIEUDONNÉ PER GLI ENDOMORFISMI ORTOGONALI DI R3.
LA GEOMETRIA EUCLIDEA. IL GRUPPO DELLE ISOMETRIE EUCLIDEE E LA GEOMETRIA EUCLIDEA. LE ISOMETRIE DEL PIANO. LE ISOMETRIE CHE FISSANO L’ORIGINE. TEOREMA FONDAMENTALE DI DECOMPOSIZIONE. RIBALTAMENTI. CARATTERIZZAZIONE GEOMETRICA DELLE ISOMETRIE PIANE: TEOREMA DI CHASLES. TEOREMA DI CARTÀN-DIEUDONNÉ. LA GEOMETRIA EUCLIDEA IN DIMENSIONE 2. CARATTERIZZAZIONE DELLE ISOMETRIE EUCLIDEE DI R3 MEDIANTE I PUNTI FISSI. TEOREMA DI CARTÀN-DIEUDONNE’. GRUPPI DI SIMMETRIE DI FIGURE ELEMENTARI.
LA GEOMETRIA AFFINE CONFORME.
LA GEOMETRIA PROIETTIVA. IL PIANO PROIETTIVO REALE P2(R). PUNTI IMPROPRI. RETTE PROIETTIVE. PROPRIETA’ GRAFICHE DI P2(R). COORDINATE PROIETTIVE OMOGENEE. IL MODELLO DI GRASSMAN. IL PIANO PROIETTIVO REALE COME QUOZIENTE DELLA SFERA, DELLA SEMISFERA, DEL DISCO E DEL QUADRATO. LE PROIETTIVITÀ REALI. LA GEOMETRIA PROIETTIVA REALE.
LE CONICHE PROIETTIVE REALI. MATRICE ASSOCIATA AD UNA CONICA. RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DI UNA CONICA PROIETTIVA REALE. FORMA BILINEARE SIMMETRICA E FORMA QUADRATICA ASSOCIATA. POSIZIONE RECIPROCA DI RETTE E CONICHE. PUNTI SEMPLICI E PUNTI DOPPI. CONICHE DEGENERI. DEGENERAZIONE DOPPIA E SEMPLICE. CONDIZIONI DI DEGENERAZIONE. TIPO AFFINE DI UNA CONICA. POLARITÀ GENERATA DA UNA CONICA NON DEGENERE. TEOREMA DI RECIPROCITÀ DELLE POLARI. RETTE E PUNTI AUTOPOLARI. CONICHE A CENTRO. CONICHE PRIVE DI CENTRO. CONDIZIONI ANALITICHE PER L'ESISTENZA DEL CENTRO E SUA DETERMINAZIONE. DIAMETRI. IL CENTRO. GLI ASSI. I VERTICI. I FUOCHI. LE DIRETTRICI.
TEOREMI DI CLASSIFICAZIONE E CARATTERI DI UNA CONICA. CLASSIFICAZIONE PROIETTIVA DELLE CONICHE PROIETTIVE REALI. TIPI PROIETTIVI REALI. CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE CONICHE AFFINI REALI. TIPI AFFINI REALI. CLASSIFICAZIONE METRICA DELLE CONICHE REALI. TIPI METRICI. ESEMPI DI CARATTERI PROIETTIVI. ESEMPI DI CARATTERI AFFINI. ESEMPI DI CARATTERI INVARIANTI PER SIMILITUDINI
GEOMETRIA IPERBOLICA. SEMIPIANO E DISCO DI POINCARÉ. RETTE E CIRCONFERENZE. INVERSIONE CIRCOLARE RELATIVA AD S1. TRASFORMATI DI RETTE E CIRCONFERENZE. CIRCONFERENZE CHE SI TRASFORMANO IN SÈ. INTERPRETAZIONE GEOMETRICA. INVERSIONI CIRCOLARI GENERALI. STUDIO DELLA CONFIGURAZIONE GEOMETRICA IN CUI DUE CIRCONFERENZE SI TAGLIANO ORTOGONALMENTE. LE INVERSIONI CIRCOLARI CONSERVANO LA STRUTTURA IPERBOLICA. LE IPERPARALLELE NEL SEMIPIANO E NEL PIANO DI POINCARÉ. RAPPORTO SEMPLICE. BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI. PROPRIETÀ DEL BIRAPPORTO. BIRAPPORTO DI QUATTRO RETTE. BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI SU UNA CIRCONFERENZA. LA METRICA IPERBOLICA. BIRAPPORTO DI QUATTRO NUMERI COMPLESSI. IL BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI ALLINEATI O SU UNA CIRCONFERENZA È REALE. LE INVERSIONI CIRCOLARI CONSERVANO IL BIRAPPORTO. DESCRIZIONE DELLE INVERSIONI CIRCOLARI CHE MANDANO IL DISCO DI POINCARÉ IN SÈ. GRUPPO DELLE ISOMETRIE IPERBOLICHE DEL PIANO DI POINCARÉ. ISOMETRIE IPERBOLICHE DEL SEMIPIANO DI POINCARÉ. ISOMETRIA STANDARD TRA SEMIPIANO DI POINCARÉ E DISCO DI POINCARÉ.
TOPOLOGIA SU UN INSIEME. APERTI. CONFRONTO TRA TOPOLOGIE. BASI. CHIUSI. CHIUSURA E PROPRIETÀ. INTORNI E PROPRIETÀ. BASI LOCALI. ADERENZA. ADERENZA E CHIUSURA. SPAZI METRICI. TOPOLOGIA INDOTTA DA UNA METRICA. TOPOLOGIA INDOTTA DALLA METRICA EUCLIDEA. TOPOLOGIE METRIZZABILI. METRICHE EQUIVALENTI. CONTINUITÀ. OMEOMORFISMI. LA TOPOLOGIA COME GEOMETRIA NEL SENSO DI KLEIN.


Metodi Didattici
I METODI DIDATTICI SI BASANO ESSENZIALMENTE SU LEZIONI FRONTALI CHE HANNO LO SCOPO DI RIDURRE LA COMPLESSITA’ A SEMPLICITA’ E, CONTEMPORANEAMENTE, RENDERE ACCESSIBILI CON GRADUALITA’ LE TECNICHE DIMOSTRATIVE STANDARD, LASCIANDO PERCEPIRE ED APPREZZARE LA NATURA FORTEMENTE SEMPLIFICATIVA DI TEOREMI FONDAMENTALI. GLI STRUMENTI E METODI SONO ORGANIZZATI PER INTEGRARE ESPERIENZA, CONOSCENZA, APPRENDIMENTO E CURIOSITA’. PROBLEMI VENGONO PROPOSTI E APPROCCI TIPICI DELLA MATEMATICA VENGONO CONSIGLIATI PER MIGLIORARE LE CAPACITA’ APPLICATIVE E DI INVENZIONE NELLA DIMOSTRAZIONE.

Verifica dell'apprendimento
UNA PROVA FINALE SCRITTA E ORALE TESA A VALUTARE LA CONOSCENZA DEGLI ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO, IL LIVELLO DI ACQUISIZIONE DEI METODI PROPOSTI E ANCHE LA CAPACITA’ ESPOSITIVA, L’APERTURA ALLA DISCUSSIONE, L’ ORIGINALITA’ DELL’ARGOMENTAZIONE E L'INVENZIONE NELLA DIMOSTRAZIONE.
Testi
[1] E. AGAZZI- D. PALLADINO, LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE E I FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA DAL PUNTO DI VISTA ELEMENTARE, LA SCUOLA, 1998.

[2] D. HILBERT- S. COHN-VOSSEN, GEOMETRIA INTUITIVA, BORINGHIERI, 1974.

[3] E. SERNESI GEOMETRIA 1 BOLLATI-BORINGHIERI 2000.

[4] E. SERNESI GEOMETRIA 2 BOLLATI- BORINGHIERI, 2001.

[5] G. TALLINI STRUTTURE GEOMETRICHE LIGUORI EDITORE.

[6] S. WILLARD, GENERAL TOPOLOGY , ED. DOVER 2004.

Altre Informazioni
INDIRIZZO DI POSTA ELETTRONICA DEL DOCENTE:

AMIRANDA@UNISA.IT
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2019-03-11]