TEORIA DEL CAOS E APPLICAZIONI IN EDUCAZIONE MATEMATICA

Annamaria MIRANDA TEORIA DEL CAOS E APPLICAZIONI IN EDUCAZIONE MATEMATICA

8860300010
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
Corso di Dottorato (D.M.226/2021)
MATEMATICA
2022/2023

ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2022
ANNUALE
CFUOREATTIVITÀ
210LEZIONE
Obiettivi
LA TEORIA DEL CAOS SI OCCUPA DELLO STUDIO DI SISTEMI DINAMICI CHE ESIBISCONO UNA SENSIBILITÀ ESPONENZIALE ALLE CONDIZIONI INIZIALI, E LA CUI EVOLUZIONE, CHE RISULTA SOLTANTO IN APPARENZA CASUALE, PUÒ ESSERE DESCRITTA DA LEGGI DETERMINISTICHE. UN PRINCIPIO ALLA BASE DI TALE TEORIA È IL COSIDDETTO “EFFETTO FARFALLA”, CHE DESCRIVE COME UN PICCOLO CAMBIAMENTO IN UNO STATO DI UN SISTEMA DETERMINISTICO NON LINEARE PUÒ COMPORTARE GRANDI DIFFERENZE IN UNO STATO SUCCESSIVO (IL CHE SIGNIFICA CHE C'È UNA DIPENDENZA SENSIBILE DALLE CONDIZIONI INIZIALI). LA TEORIA NASCE ALLA FINE DEL DICIANNOVESIMO SECOLO, CON LE RICERCHE DI H. POINCARE’ (1892), PER DARE RISPOSTA A QUESTIONI RIGUARDANTI LA STABILITÀ E L’EVOLUZIONE DEL SISTEMA SOLARE (PROBLEMA DEI TRE CORPI), QUANDO L’IDEA CLASSICA SECONDO CUI UNO STATO DI DISORDINE E IRREGOLARITÀ POTESSE ESSERE COMPLETAMENTE CASUALE INIZIA A VACILLARE E LA DINAMICA CLASSICA NON POSSIEDE PIÙ MEZZI PER SPIEGARE GLI ASPETTI IRREGOLARI E INCOSTANTI DELLA NATURA.
NELLA SUA FORMA PIÙ GENERALE UN SISTEMA DINAMICO CONSISTE IN UN INSIEME DOTATO DI UNA TOPOLOGIA, UNA METRICA, UNA STRUTTURA DIFFERENZIALE O UNA MISURA DI PROBABILITÀ (SPAZIO DELLE FASI) E DI UN INSIEME DI MAPPE COMPATIBILI CON LA STRUTTURA (FUNZIONE DI TRANSIZIONE). NEL CASO DEI SISTEMI DINAMICI CLASSICI LA STRUTTURA È QUELLA DI VARIETÀ DIFFERENZIABILE. UNA POSSIBILE GENERALIZZAZIONE È QUELLA DI SISTEMA DINAMICO TOPOLOGICO, IN CUI SI ASSUME CHE LO SPAZIO DELLE FASI SIA UNO SPAZIO TOPOLOGICO E LA LEGGE DI EVOLUZIONE UN GRUPPO AD UN PARAMETRO DI OMEOMORFISMI O UN SEMIGRUPPO AD UN PARAMETRO DI TRASFORMAZIONI CONTINUE. LA DINAMICA TOPOLOGICA STUDIA LE PROPRIETÀ DEI SISTEMI DINAMICI TOPOLOGICI STRETTAMENTE LEGATE AI PROCESSI EVOLUTIVI, E DUNQUE ANCHE AL CAOS. NON ESISTE UNA DEFINIZIONE MATEMATICA UNIVERSALMENTE ACCETTATA DI CAOS. UNA DEFINIZIONE COMUNEMENTE UTILIZZATA AFFERMA CHE UN SISTEMA DINAMICO È CAOTICO SE È SENSIBILE ALLE CONDIZIONI INIZIALI, È TOPOLOGICAMENTE TRANSITIVO, E POSSIEDE UN INSIEME DENSO DI PUNTI PERIODICI (DEVANEY CHAOS). LA TEORIA DEL CAOS È UNA DISCIPLINA MOLTO VASTA, INTRECCIATA CON TUTTE LE PRINCIPALI AREE DELLA MATEMATICA, CHE TROVA INTERESSANTI APPLICAZIONI IN DIVERSE AREE SCIENTIFICHE. L’EFFETTO FARFALLA SI MANIFESTA AD ESEMPIO NEI CONTESTI EDUCATIVI QUANDO UN PICCOLO CAMBIAMENTO, O UNA VARIAZIONE TRASCURABILE DI UN EVENTO, NELL’EVOLUZIONE DEL PROCESSO EDUCATIVO DI UN INDIVIDUO, GENERA RISULTATI INATTESI.
Prerequisiti
TOPOLOGIA GENERALE. TEORIA DEGLI SPAZI METRICI.
Contenuti
1.SISTEMI DINAMICI TOPOLOGICI E CAOS. ORBITE. TRAIETTORIE. PUNTI PERIODICI. INSIEMI INVARIANTI. CONIUGAZIONE TOPOLOGICA. TRANSITIVITÀ TOPOLOGICA. MINIMALITÀ. MESCOLAMENTO TOPOLOGICO. DIPENDENZA SENSIBILE DALLE CONDIZIONI INIZIALI. MESCOLAMENTO. MESCOLAMENTO DEBOLE. LA MAPPA TENDA. LE MAPPE SULLA CIRCONFERENZA. IL CAOS SECONDO DEVANEY. INTERDIPENDENZE TRA CAOS INDIVIDUALE E CAOS COLLETTIVO.
2.IL CAOS IN EDUCAZIONE MATEMATICA. L’EFFETTO FARFALLA: GLI EFFETTI DI UN EVENTO NEGATIVO (AD ESEMPIO DI UN FALLIMENTO) O DI UN EVENTO POSITIVO (SUCCESSO) SUI PROCESSI DI APPRENDIMENTO. LE TRAIETTORIE DI APPRENDIMENTO. L’APPRENDIMENTO COLLETTIVO E LE SUE INTERAZIONI CON L’APPRENDIMENTO INDIVIDUALE. PROBLEMA: RIDURRE L’IMPREDICIBILITÀ. CON QUALI METODOLOGIE? RIFLESSIONI E SPUNTI DI RICERCA.
Metodi Didattici
LEZIONI TEORICHE E DISCUSSIONI COLLETTIVE DEI PROBLEMI AD ESSE CONNESSI.
Verifica dell'apprendimento

OPZIONE 1- SEMINARIO DI GRUPPO + PROBLEMI
OPZIONE 2- SEMINARIO INDIVIDUALE + PROBLEMI
OPZIONE 3- PROVA D’ESAME ORALE TRADIZIONALE
Testi
G.D. BENSON, W.J. HUNTER, (1993). CHAOS THEORY: NO STRANGE ATTRACTOR IN TEACHER EDUCATION. ACTION IN TEACHER EDUCATION 14(4), 61-69.
M. BRIN, G. STUCK, (2002). INTRODUCTION TO DYNAMICAL SYSTEMS, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS.
J. DE VRIES, (2014). TOPOLOGICAL DYNAMICAL SYSTEMS: AN INTRODUCTION TO THE DYNAMICS OF CONTINUOUS MAPPING, STUDIES IN MATHEMATICS, 59, DE GRUYTER, BERLIN.
H. POINCARÉ (1892). ""SUR LES COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE"", OEUVRES, 1, PARIS.
J. TRYGESTAD, (1997). CHAOS IN THE CLASSROOM: AN APPLICATION OF CHAOS THEORY, ANNUAL MEETING OF THE AMERICAN EDUCATIONAL RESEARCH ASSOCIATION (CHICAGO, IL, MARCH 24-28,1997).
Altre Informazioni
POSTA ELETTRONICA DEL DOCENTE:

AMIRANDA@UNISA.IT
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