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GEOMETRIA DELLE PDE NON LINEARI E CALCOLO SECONDARIO

Il programma presentato è la fase avanzata di un progetto di larga scala e lunga durata per la costruzione dei fondamenti della teoria generale delle PDE non-lineari. Fino a poco fa l'esistenza di tale teoria era ritenuta impossibile vista la straordinaria varietà e complessità dei problemi legati con le PDE non-lineari e tutte le relative aree di applicazione. La sintesi è stata trovata con l'introduzione dei concetti di diffiety e calcolo secondario, a loro volta legati intimamente con il calcolo differenziale sulle algebre commutative. Su questa base è stato possibile sviluppare la teoria delle simmetrie e leggi di conservazione superiori per le PDE e risolvere un gran numero di problemi classici nel settore. Alcuni risultati di questo sviluppo sono stati da noi pubblicati in diverse monografie. Tali risultati hanno trovato, fra l'altro, applicazioni anche in Fisica facendo nascere così un nuovo capitolo della Fisica Teorica detto Fisica Coomologica. In effetti, nel corso degli studi citati è stata rivelata, inaspettatamente, la natura coomologica, e, più di recente, omotopica, della teoria delle PDE non-lineari. Tale natura richiede metodi non-standard e in buona parte ancora da sviluppare. Al momento, dunque, risulta attuale la necessità di migliorare le tecniche coomologiche e omotopiche in gioco e, innanzitutto, le tecniche di calcolo dei primi termini della successione C-spettrale e dei suoi analoghi. Estendendo, inoltre, la teoria già esistente alle diffiety con bordo ci aspettiamo di trovare risultati analoghi a quelli noti (riguardo a simmetrie, leggi di conservazione, strutture hamiltoniane, etc.) nel caso di PDE con condizioni al bordo, dati iniziali e/o condizioni di trasversalità, etc., un aspetto riguardo al quale non è presente in letteratura alcun risultato significativo. Come ulteriore esempio significativo, menzioniamo che, trattando la teoria delle singolarità delle soluzioni delle PDE con i metodi del calcolo secondario ci aspettiamo di trovare una formalizzazione più adeguata dei fenomeni del tipo della turbolenza e individuare metodi più sistematici di quelli noti per la quantizzazione di un sistema classico. I risultati menzionati, naturalmente, possono avere applicazione in tutti i settori in cui sono coinvolte PDE, cioè a dire, innanzitutto, Geometria Differenziale, Calcolo delle Variazioni, Fisica Teorica, Meccanica dei Mezzi Continui, Teoria del Controllo, etc., ma anche discipline più applicative come Metodi Matematici per l'Ambiente, Meteorologia, etc. o problemi più concreti come la Fusione Termonucleare. In particolare è previsto lo studio delle equazioni di Einstein nel vuoto, metriche Ricci piatte, e con materia; lo studio delle equazioni di Monge-Ampére (classiche e in più variabili indipendenti), delle loro simmetrie, forme normali, integrali intermedi e invarianti differenziali; lo studio delle equazioni di Monge-Ampère invarianti in varietà di contatto omogenee. Infine, giacché gran parte dei modelli matematici nelle scienze naturali (oltre, cioè, a quelli già citati) si formulano in termini di PDE, qualsiasi progresso nella teoria generale in questione è un progresso della conoscenza nei corrispondenti settori. Anche di più, già ora emergono aree in cui una adeguata modellazione matematica è impossibile senza gli strumenti del calcolo secondario.