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CLASSI DI GRUPPI

(1) Commutatori, coniugati, centralizzanti.Si intende continuare lo studio di gruppi con restrizioni sui centralizzanti di sottogruppi. E' stato dimostrato che, con p primo dispari e k intero positivo, se G è un p-gruppo finito tale che l'indice di ogni sottogruppo ciclico non normale di G nel suo centralizzante è minore o uguale a p^k, allora G è un gruppo di Dedekind oppure l'ordine di G è limitato da una funzione che dipende solo da p e k. Si vorrebbe ora continuare lo studio avviato esaminando i gruppi infiniti G con l'indice di ogni sottogruppo ciclico non normale nel suo centralizzante finito o limitato.Un sottogruppo H di un gruppo G è detto autocentralizzato se il centralizzante di H in G è contenuto in H. La presenza di sottogruppi autocentralizzati determina notevoli restrizioni sulla struttura di un gruppo. Recentemente sono stati ottenuti significativi risultati nello studio dei gruppi in cui i sottogruppi non ciclici sono autocentralizzati. In particolare, questi gruppi sono stati completamente caratterizzati nel caso localmente finito.Un problema posto da Berkovich e non ancora risolto chiede di determinare i p-gruppi finiti in cui ogni sottogruppo non abeliano è autocentralizzato. Si cercherà di fornire risposte almeno parziali a questo problema studiando la classe dei gruppi in cui ogni sottogruppo non abeliano è autocentralizzato. Si proverà a caratterizzare tali gruppi anche nel caso infinito, almeno per classi notevoli quali quella dei gruppi nilpotenti o supersolubili.Un ben noto risultato di B.H. Neumann assicura che un gruppo in cui ogni insieme infinito di elementi ne contiene due che permutano è necessariamente centrale-per-finito, e quindi il suo derivato G' è finito. Ci si propone di studiare i gruppi in cui ogni insieme infinito di commutatori ne contiene due che permutano. E' vero che in tal caso il derivato secondo G'' di G è finito? Ovviamente tale risultato non può seguire banalmente da quello di B.H. Neumann, in quanto il derivato è generato (e non costituito) dai commutatori.(2) Generalizzazioni della nilpotenza.P. Shumyasky ha mostrato che se G è un gruppo residualmente finito, v = [x_1, ..., x_k] una parola commutatore e se tutti i valori di v sono n-Engel, allora il sottogruppo verbale v(G) è localmente nilpotente. Si intende studiare un problema analogo se G è un gruppo localmente graduato o un gruppo ordinato e v una qualunque parola multilineare.Si vuole poi appofondire la seguente congettura: Siano w una parola multilineare e X la classe dei gruppi in cui ogni valore di w è n-Engel e il sottogruppo verbale w(G) è localmente nilpotente. Allora X è una varietà.(3) Problemi inversi nei gruppi aperiodici.Si continuerà lo studio della struttura del sottogruppo generato da S e la struttura di S se S è un sottoinsieme finito di ordine k di un gruppo ordinato G tale che |S^2| è minore o uguale di 3k-2. E' stato provato da G. Freiman, M. Herzog, P. Longobardi, M. Maj che se |S^2|è minore o uguale a 3|S|-3, allora il sottogruppo generato da S è abeliano; inoltre, per ogni k, esiste un gruppo ordinato possedente un sottoinsieme S di ordine k con |S^2| = 3k-2 e tale che il sottogruppo generato da S non è abeliano. Si studierà l'esistenza di un limite superiore f(k) tale se S è un sottoinsieme di ordine k di un gruppo ordinato e |S^2| è minore o uguale a f(k), allora il sottogruppo generato da S è risolubile o non è semplice.Si studierà inotre, più in generale, la struttura del sottogruppo generato da un insieme finito S di un gruppo aperiodico G, se |S^2|è minore o uguale a 3|S|-4.