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ANALISI FUNZIONALE

Sara MONSURRO' ANALISI FUNZIONALE

0522200047
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2018/2019

ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2018
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
SARA MONSURRO' T Curriculum
Obiettivi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
L’INSEGNAMENTO HA LO SCOPO DI FORNIRE I FONDAMENTI DELL’ANALISI FUNZIONALE. SARANNO OGGETTO DI STUDIO I CONCETTI FONDAMENTALI E LE VARIE TECNICHE DIMOSTRATIVE NELL’AMBITO DELL’ANALISI DEGLI SPAZI DI BANACH E DI HILBERT E DEGLI OPERATORI LINEARI E LIMITATI. IN PARTICOLARE, SI TRATTERANNO I TEOREMI DI HAHN-BANACH, DELLA CATEGORIA DI BAIRE, DELL’UNIFORME LIMITATEZZA, DELL’APPLICAZIONE APERTA E DEL GRAFO CHIUSO; IL CONCETTO DI DUALITÀ NEGLI SPAZI DI BANACH; LE TOPOLOGIE DEBOLI, GLI SPAZI SEPARABILI E QUELLI RIFLESSIVI. VERRANNO ILLUSTRATE ALCUNE APPLICAZIONI DEI RISULTATI STUDIATI AGLI SPAZI DI LEBESGUE E DI SOBOLEV IN DIMESIONE UNO.
L’INSEGNAMENTO È FINALIZZATO A FAR ACQUISIRE ALLO STUDENTE
- CONOSCENZA DEI CONCETTI BASILARI DELL’ANALISI FUNZIONALE;
- SPIRITO CRITICO NELL’APPROCCIO A TALI CONCETTI ED ALLA LORO APPLICABILITÀ;
- CAPACITÀ DI FORMULARE E COMUNICARE I SUDDETTI CONCETTI IN MODO LOGICO E RIGOROSO;
- ATTITUDINE ALL’USO DI TECNICHE DIMOSTRATIVE DIVERSE ED AL RICORSO AD ESEMPI SIGNIFICATIVI;
- ABILITÀ NELL’ANALISI E NELLA RISOLUZIONE DI PROBLEMI POSTI.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
AL TERMINE DELLE ATTIVITÀ PREVISTE DALL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE AVRÀ
- UNA BUONA CONOSCENZA DEI CONCETTI DI BASE DELL’ANALISI FUNZIONALE;
- ATTITUDINE E CAPACITÀ DI RISOLVERE PROBLEMI ASSEGNATI IN RELAZIONE AI SUDDETTI CONCETTI ED ALLA LORO APPLICAZIONE;
- LA CAPACITÀ DI COMPRENDERE E COMUNICARE, CON CHIAREZZA ED UN LINGUAGGIO MATEMATICO RIGOROSO, I PRINCIPI DI BASE DELL’ANALISI FUNZIONALE;
- LA CAPACITÀ DI FORNIRE ESEMPI E CONTROESEMPI SIGNIFICATIVI NELL’ILLUSTRARE GLI ARGOMENTI DI ANALISI FUNZIONALE TRATTATI;
- SPIRITO CRITICO TANTO NELLA LETTURA QUANTO NELL’ESPOSIZIONE (ORALE E SCRITTA) DI ENUNCIATI E DIMOSTRAZIONI DEI TEOREMI PIÙ IMPORTANTI, E SARÀ IN GRADO DI SPIEGARE I PASSAGGI CRUCIALI DELLE DIMOSTRAZIONI E, QUALORA SI MODIFICHINO LE IPOTESI, DI COMPRENDERE SE LE CONCLUSIONI E/O SOLUZIONI SIANO O MENO RAGIONEVOLI.
Prerequisiti
È RICHIESTA LA CONOSCENZA DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA E PIU' VARIABILI, DELLA TEORIA DELL'INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE E DEGLI SPAZI METRICI.
Contenuti
I TEOREMI DI HAHN-BANACH.
IPERPIANI. LEMMA DI ZORN. FUNZIONALI SUBLINEARI. FORMA ANALITICA DEL TEOREMA DI HAHN-BANACH. ESISTENZA DI FUNZIONALI LINEARI E CONTINUI. INSIEMI CONVESSI. IPERPIANI AFFINI. FORME GEOMETRICHE DEL TEOREMA DI HAHN-BANACH.

TEOREMA DI BAIRE E SUE CONSEGUENZE
TEOREMA DI BAIRE. TEOREMA DI UNIFORME LIMITATEZZA PER OPERATORI LINEARI E CONTINUI. TEOREMA DELLA MAPPA APERTA. OPERATORI CHIUSI. TEOREMA DEL GRAFICO CHIUSO.

TOPOLOGIE DEBOLI
TOPOLOGIA GENERATA DA UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI. DEFINIZIONE DELLA TOPOLOGIA DEBOLE SU UNO SPAZIO NORMATO. EQUIVALENZA TRA TOPOLOGIE DEBOLE E FORTE IN SPAZI DI DIMENSIONE FINITA. CHIUSURA DEBOLE DELLA SFERA UNITARIA IN SPAZI DI DIMENSIONE INFINITA. NON METRIZZABILITÀ DELLA TOPOLOGIA DEBOLE IN SPAZI DI DIMENSIONE INFINITA. EQUIVALENZA DELLE CHIUSURE DEBOLE E FORTE PER INSIEMI CONVESSI.
SPAZIO BIDUALE E SPAZI RIFLESSIVI. CONTINUITÀ FORTE E DEBOLE DEGLI OPERATORI LINEARI.
DEFINIZIONE DELLA TOPOLOGIA DEBOLE * SU UNO SPAZIO NORMATO. PROPRIETÀ DELLE SUCCESSIONI DEBOLE* CONVERGENTI E TEOREMA DI BANACH-ALAOGLU-BOURBAKI. PROPRIETÀ DEGLI SPAZI RIFLESSIVI (E SEPARABILI): TEOREMA DI KAKUTANI; RIFLESSIVITÀ DI UN SOTTOSPAZIO VETTORIALE CHIUSO DI UNO SPAZIO RIFLESSIVO; TEOREMA DI EBERLEIN-SMULIAN SULL’EQUIVALENZA TRA COMPATTEZZA NEL SENSO DEI RICOPRIMENTI E COMPATTEZZA SEQUENZIALE NELLA TOPOLOGIA DEBOLE DI SPAZI RIFLESSIVI.

APPLICAZIONI AGLI SPAZI L^P E AGLI SPAZI DI SOBOLEV IN DIMESIONE UNO.
Metodi Didattici
IL CORSO PREVEDE DELLE LEZIONI DI CARATTERE TEORICO FINALIZZATE ALL’APPRENDIMENTO DELLE NOZIONI DI BASE DELL’ANALISI FUNZIONALE E DELLE VARIE TECNICHE DIMOSTRATIVE UTILIZZATE. SARANNO ILLUSTRATE ALTRESÌ APPLICAZIONI CONCRETE DEI RISULTATI TEORICI PRESENTATI.
Verifica dell'apprendimento
LA VERIFICA E LA VALUTAZIONE DEL LIVELLO DI APPRENDIMENTO DA PARTE DELLO STUDENTE AVVERRÀ TRAMITE UNA PROVA ORALE.
LO STUDENTE DOVRÀ DIMOSTRARE DI CONOSCERE GLI ARGOMENTI DEL CORSO E DI SAPERLI COLLEGARE FRA LORO.
Testi
H. BREZIS: ANALISI FUNZIONALE: TEORIA ED APPLICAZIONI, LIGUORI, 1986, 419 PAGINE, ISBN: 88-207-1501-5

A. N. KOLMOGOROV – S.V. FOMIN: ELEMENTI DI TEORIA DELLE FUNZIONI E DI ANALISI FUNZIONALE, EDIZIONI MIR, 2012, 536 PAGINE, ISBN: 88-647-3239-X



  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2019-10-21]