Luca VITAGLIANO | ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
Luca VITAGLIANO ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
cod. 0522200013
ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
| 0522200013 | |
| DIPARTIMENTO DI MATEMATICA | |
| CORSO DI LAUREA MAGISTRALE | |
| MATEMATICA | |
| 2017/2018 |
| OBBLIGATORIO | |
| ANNO CORSO 1 | |
| ANNO ORDINAMENTO 2016 | |
| SECONDO SEMESTRE |
| SSD | CFU | ORE | ATTIVITÀ | |
|---|---|---|---|---|
| MAT/03 | 6 | 48 | LEZIONE |
| Obiettivi | |
|---|---|
| SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È DI FORNIRE GLI ELEMENTI DI BASE DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE MODERNA, CON PARTICOLARE RIGUARDO AL CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE SULLE VARIETÀ LISCE. - CONOSCENZE E COMPRENSIONE: AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE CONOSCERÀ I RUDIMENTI DELLA TEORIA DEI CAMPI VETTORIALI E DELLE FORME DIFFERENZIALI SULLE VARIETÀ E COMPRENDERÀ IL RUOLO DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE NEL PANORAMA DELLA MATEMATICA CONTEMPORANEA. SARÀ IN OLTRE IN GRADO DI COMPRENDERE IN AUTONOMIA LE DEFINIZIONI E LE PRIME PROPRIETÀ DELLE STRUTTURE GEOMETRICHE DI CUI È POSSIBILE DOTARE UNA VARIETÀ LISCIA, ANCHE NON RICOMPRESE NEL PROGRAMMA DELL’INSEGNAMENTO, QUALI STRUTTURE RIEMANNIANE, SIMPLETTICHE, COMPLESSE, DI CONTATTO, ECC. - APPLICAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLA COMPRENSIONE: SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È DI METTERE IN GRADO LO STUDENTE DI APPLICARE NOZIONI E TECNICHE DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE IN AMBITO SIA GEOMETRICO CHE INTERDISCIPLINARE, CON PARTICOLARE RIGUARDO ALL’ANALISI E ALLA FISICA MATEMATICA. AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI APPLICARE IL CALCOLO DIFFERENZIALE ALLO STUDIO DELLA TOPOLOGIA DELLE VARIETÀ LISCE. SARÀ INOLTRE IN GRADO DI APPLICARE IL METODO GEOMETRICO AL TRATTAMENTO DI SEMPLICI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE E ALLA MODELLIZZAZIONE IN MECCANICA CLASSICA. |
| Prerequisiti | |
|---|---|
| LE UNICHE PROPEDEUTICITÀ RICHIESTE SONO I CORSI DI GEOMETRIA, ALGEBRA E ANALISI DELLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA (O FISICA). SONO UTILI, MA NON INDISPENSABILI, CONOSCENZE DI TOPOLOGIA ELEMENTARE A TEORIA DEGLI ANELLI. |
| Contenuti | |
|---|---|
| 1. VARIETÀ LISCE. CARTE E ATLANTI. STRUTTURE DIFFERENZIABILI. VARIETÀ LISCE. PROPRIETÀ TOPOLOGICHE DELLE VARIETÀ. ESEMPI. 2. MAPPE LISCE TRA VARIETÀ. FUNZIONI LISCE SU UNA VARIETÀ. LEMMA DI INCOLLAMENTO. MAPPE LISCE. PULL-BACK. DIFFEMORFISMI. SOTTOVARIETÀ. 3. SPAZI TANGENTI AD UNA VARIETÀ. VETTORI TANGENTI. TEOREMA DEL VETTORE TANGENTE. MAPPE TANGENTI. CAMBIO DI COORDINATE. 4. IMMERSIONI, SOMMERSIONI, EMBEDDING E SOTTOVARIETÀ. RANGO DI UNA MAPPA LISCIA. IMMERSIONI, SOMMERSIONI E DIFFEOMORFISMI LOCALI. TEOREMA DEL RANGO. SOTTOVARIETÀ IMMERSE E EMBEDDING. 5. CAMPI VETTORIALI E FLUSSI. CAMPI VETTORIALI E LORO PROPRIETÀ ALGEBRICHE. IL FIBRATO TANGENTE E LE SUE SEZIONI. LEMMA DI INCOLLAMENTO PER I CAMPI VETTORIALI. CAMPI VETTORIALI E MAPPE LISCE. CURVE INTEGRALI. TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ DELLE CURVE INTEGRALI. FLUSSI. DERIVATA DI LIE. SIMMETRIE E SIMMETRIE INFINITESIMALI. 6. FIBRATI VETTORIALI. FIBRATI VETTORIALI. ESEMPI. MAPPE DI TRANSIZIONE. LEMMA DELLA CARTA FIBRATA. FIBRATO DUALE. SEZIONI DI UN FIBRATO VETTORIALE. SEZIONI DEL FIBRATO DUALE. 7. FIBRATO COTANGENTE E FORME DIFFERENZIALI. COVETTORI E FIBRATO COTANGENTE. DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE. PULL-BACK DI COVETTORI. 1-FORME. FORME ALTERNANTI. ALGEBRE GRADUATE. FORME DIFFERENZIALI. CALCOLO DI CARTAN. COHOMOLOGIE DI DE RHAM. |
| Metodi Didattici | |
|---|---|
| LA DIDATTICA AVVERRÀ PRINCIPALMENTE MEDIANTE LEZIONI FRONTALI. TUTTAVIA, A LEZIONE, SARANNO PROPOSTI ESERCIZI E PROBLEMI CHE LO STUDENTE DOVRÀ RISOLVERE IN AULA O COME “HOMEWORK”, ALLO SCOPO DI PROMUOVERE UNA FORMA DI APPRENDIMENTO “ATTIVO” (E, PER QUESTO, PIÙ EFFICACE), NONCHÉ L’AUTONOMIA DI GIUDIZIO SUGLI ARGOMENTI DELL’INSEGNAMENTO. |
| Verifica dell'apprendimento | |
|---|---|
| LA VERIFICA FINALE HA LO SCOPO DI ACCERTARE L’APPRENDIMENTO DELLA TEORIA ILLUSTRATA DURANTE L’INSEGNAMENTO, LA COMPRENSIONE DEL SUO RUOLO NEL PANORAMA DELLA MATEMATICA CONTEMPORANEA, NONCHÉ LE CAPACITÀ, DA PARTE DELLO STUDENTE, DI APPLICARLA PER LA RISOLUZIONE DI SEMPLICI ESERCIZI, ANCHE IN AMBITO ANALITICO E FISICO-MATEMATICO. L’ESAME CONSISTERÀ DI TRE PROVE: 1. UNA DISCUSSIONE ORALE DEGLI “HOMEWORK” PROPOSTI, 2. LA RISOLUZIONE DI POCHI ESERCIZI INEDITI, 3. UN COLLOQUIO ORALE. LE TRE PROVE SI SVOLGERANNO NELLA STESSA SEDUTA. NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, LA VALUTAZIONE DELLE PROVE 1. E 2. PESERÀ PER IL 20% MENTRE IL COLLOQUIO ORALE PER IL RESTANTE 80%. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE. |
| Testi | |
|---|---|
| IL TESTO DI RIFERIMENTO È J. M. LEE, INTRODUCTION TO SMOOTH MANIFOLDS (II EDIZIONE), GRADUATE TEXT IN MATHEMATICS, SPRINGER. GLI ASPETTI TOPOLOGICI POSSONO ESSERE APPROFONDITI SUL TESTO J. M. LEE, INTRODUCTION TO TOPOLOGICAL MANIFOLDS (II EDIZIONE), GRADUATE TEXT IN MATHEMATICS, SPRINGER. |
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