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ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE

Luca VITAGLIANO ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE

0522200013
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2021/2022



ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2018
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
LUCA VITAGLIANO T Curriculum
Obiettivi
SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È DI FORNIRE GLI ELEMENTI DI BASE DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE MODERNA, CON PARTICOLARE RIGUARDO AL CALCOLO DIFFERENZIALE SULLE VARIETÀ LISCE.

- CONOSCENZE E COMPRENSIONE: AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE CONOSCERÀ I RUDIMENTI DELLA TEORIA DEI CAMPI VETTORIALI E DELLE FORME DIFFERENZIALI SULLE VARIETÀ E COMPRENDERÀ IL RUOLO DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE NEL PANORAMA DELLA MATEMATICA CONTEMPORANEA. SARÀ IN OLTRE IN GRADO DI COMPRENDERE IN AUTONOMIA LE DEFINIZIONI E LE PRIME PROPRIETÀ DELLE STRUTTURE GEOMETRICHE DI CUI È POSSIBILE DOTARE UNA VARIETÀ LISCIA, ANCHE NON RICOMPRESE NEL PROGRAMMA DELL’INSEGNAMENTO, QUALI STRUTTURE RIEMANNIANE, SIMPLETTICHE, COMPLESSE, DI CONTATTO, ECC.

- APPLICAZIONE DELLE CONOSCENZE E DELLA COMPRENSIONE: SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È DI METTERE IN GRADO LO STUDENTE DI APPLICARE NOZIONI E TECNICHE DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE IN AMBITO SIA GEOMETRICO CHE INTERDISCIPLINARE, CON PARTICOLARE RIGUARDO ALL’ANALISI E ALLA FISICA MATEMATICA. AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI APPLICARE IL CALCOLO DIFFERENZIALE ALLO STUDIO DELLA TOPOLOGIA DELLE VARIETÀ LISCE. SARÀ INOLTRE IN GRADO DI APPLICARE IL METODO GEOMETRICO AL TRATTAMENTO DI SEMPLICI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE E ALLA MODELLIZZAZIONE IN MECCANICA CLASSICA.
Prerequisiti
LE UNICHE PROPEDEUTICITÀ RICHIESTE SONO I CORSI DI GEOMETRIA, ALGEBRA E ANALISI DELLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA (O FISICA). SONO UTILI, MA NON INDISPENSABILI, CONOSCENZE DI TOPOLOGIA ELEMENTARE E TEORIA DEGLI ANELLI.
Contenuti
1.  VARIETÀ LISCE.
CARTE E ATLANTI. STRUTTURE DIFFERENZIABILI. VARIETÀ LISCE. PROPRIETÀ TOPOLOGICHE DELLE VARIETÀ. ESEMPI.

2.  MAPPE LISCE TRA VARIETÀ.
FUNZIONI LISCE SU UNA VARIETÀ. LEMMA DI INCOLLAMENTO. MAPPE LISCE. PULL-BACK. DIFFEMORFISMI. SOTTOVARIETÀ.

3.  SPAZI TANGENTI AD UNA VARIETÀ.
VETTORI TANGENTI. TEOREMA DEL VETTORE TANGENTE. MAPPE TANGENTI. CAMBIO DI COORDINATE.

4.  IMMERSIONI, SOMMERSIONI, EMBEDDING E SOTTOVARIETÀ.
RANGO DI UNA MAPPA LISCIA. IMMERSIONI, SOMMERSIONI E DIFFEOMORFISMI LOCALI. TEOREMA DEL RANGO. SOTTOVARIETÀ IMMERSE E EMBEDDING.

5.  CAMPI VETTORIALI E FLUSSI.
CAMPI VETTORIALI E LORO PROPRIETÀ ALGEBRICHE. IL FIBRATO TANGENTE E LE SUE SEZIONI. LEMMA DI INCOLLAMENTO PER I CAMPI VETTORIALI. CAMPI VETTORIALI E MAPPE LISCE. CURVE INTEGRALI. TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ DELLE CURVE INTEGRALI. FLUSSI. DERIVATA DI LIE. SIMMETRIE E SIMMETRIE INFINITESIMALI.

6.  FIBRATO COTANGENTE E FORME DIFFERENZIALI.
COVETTORI E FIBRATO COTANGENTE. DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE. PULL-BACK DI COVETTORI. 1-FORME. FORME ALTERNANTI. ALGEBRE GRADUATE. FORME DIFFERENZIALI. CALCOLO DI CARTAN.

Metodi Didattici
LA DIDATTICA AVVERRÀ PRINCIPALMENTE MEDIANTE LEZIONI FRONTALI. TUTTAVIA, A LEZIONE, SARANNO PROPOSTI ESERCIZI E PROBLEMI CHE LO STUDENTE DOVRÀ RISOLVERE COME “HOMEWORK”, ALLO SCOPO DI PROMUOVERE UNA FORMA DI APPRENDIMENTO “ATTIVO” (E, PER QUESTO, PIÙ EFFICACE), NONCHÉ L’AUTONOMIA DI GIUDIZIO SUGLI ARGOMENTI DELL’INSEGNAMENTO.
Verifica dell'apprendimento
LA VERIFICA FINALE HA LO SCOPO DI ACCERTARE L’APPRENDIMENTO DELLA TEORIA ILLUSTRATA DURANTE L’INSEGNAMENTO, LA COMPRENSIONE DEL SUO RUOLO NEL PANORAMA DELLA MATEMATICA CONTEMPORANEA, NONCHÉ LE CAPACITÀ, DA PARTE DELLO STUDENTE, DI APPLICARLA PER LA RISOLUZIONE DI SEMPLICI ESERCIZI, ANCHE IN AMBITO ANALITICO E FISICO-MATEMATICO. L’ESAME CONSISTERÀ DI TRE PROVE:
1. UNA DISCUSSIONE ORALE DEGLI “HOMEWORK” PROPOSTI,
2. LA RISOLUZIONE DI POCHI ESERCIZI INEDITI,
3. UN COLLOQUIO ORALE.
LE TRE PROVE SI SVOLGERANNO NELLA STESSA SEDUTA. NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, LA VALUTAZIONE DELLE PROVE 1. E 2. PESERÀ PER IL 20% MENTRE IL COLLOQUIO ORALE PER IL RESTANTE 80%. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.
Testi
IL TESTO DI RIFERIMENTO È
J. M. LEE, INTRODUCTION TO SMOOTH MANIFOLDS (II EDIZIONE), GRADUATE TEXT IN MATHEMATICS, SPRINGER.
GLI ASPETTI TOPOLOGICI POSSONO ESSERE APPROFONDITI SUL TESTO
J. M. LEE, INTRODUCTION TO TOPOLOGICAL MANIFOLDS (II EDIZIONE), GRADUATE TEXT IN MATHEMATICS, SPRINGER.
ALL'INDIRIZZO HTTP://WWW.DIPMAT2.UNISA.IT/PEOPLE/VITAGLIANO/WWW/MAIN.PDF
SONO INOLTRE DISPONIBILI LE DISPENSE DEL CORSO (INCLUSI ESERCIZI E PROBLEMI ASSEGNATI COME "HOMEWORK") REDATTE DAL DOCENTE.

Altre Informazioni
TUTTE LE INFORMAZIONI RILEVANTI SULL'INSEGNAMENTO SONO ANCHE DISPONIBILI ALLA PAGINA: HTTP://WWW.DIPMAT2.UNISA.IT/PEOPLE/VITAGLIANO/WWW/ISTITUZIONI.HTML
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2022-11-21]