Luca VITAGLIANO | ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
Luca VITAGLIANO ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
cod. 0522200013
ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
| 0522200013 | |
| DIPARTIMENTO DI MATEMATICA | |
| CORSO DI LAUREA MAGISTRALE | |
| MATEMATICA | |
| 2024/2025 |
| ANNO ORDINAMENTO 2018 | |
| PRIMO SEMESTRE |
| SSD | CFU | ORE | ATTIVITÀ | |
|---|---|---|---|---|
| MAT/03 | 6 | 48 | LEZIONE |
| Appello | Data | Sessione | |
|---|---|---|---|
| ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE | 17/02/2025 - 09:00 | SESSIONE ORDINARIA | |
| ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE | 17/02/2025 - 09:00 | SESSIONE DI RECUPERO |
| Obiettivi | |
|---|---|
| OBIETTIVO GENERALE - SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È DI FORNIRE ELEMENTI DI BASE DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE MODERNA, CON PARTICOLARE RIGUARDO AL CALCOLO DIFFERENZIALE SULLE VARIETÀ LISCE. CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE - AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO LO STUDENTE CONOSCERÀ I RUDIMENTI DELLA TEORIA DEI CAMPI VETTORIALI E DELLE FORME DIFFERENZIALI SULLE VARIETÀ LISCE E COMPRENDERÀ IL RUOLO DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE NEL PANORAMA DELLA MATEMATICA CONTEMPORANEA. SARÀ INOLTRE IN GRADO DI COMPRENDERE IN AUTONOMIA LE DEFINIZIONI E LE PRIME PROPRIETÀ DELLE STRUTTURE GEOMETRICHE DI CUI È POSSIBILE DOTARE UNA VARIETÀ LISCIA, ANCHE NON RICOMPRESE NEL PROGRAMMA DELL’INSEGNAMENTO, QUALI STRUTTURE RIEMANNIANE, SIMPLETTICHE, COMPLESSE, DI CONTATTO, ETC. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE - LO SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È METTERE IN GRADO LO STUDENTE DI APPLICARE NOZIONI E TECNICHE DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE IN AMBITO SIA GEOMETRICO CHE INTERDISCIPLINARE, CON PARTICOLARE RIGUARDO ALL’ANALISI MATEMATICA E ALLA FISICA MATEMATICA. AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO, LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI APPLICARE IL CALCOLO DIFFERENZIALE ALLO STUDIO DELLA TOPOLOGIA DELLE VARIETÀ LISCE. SARÀ INOLTRE IN GRADO DI APPLICARE IL METODO GEOMETRICO AL TRATTAMENTO DI SEMPLICI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE E ALLA MODELLIZZAZIONE IN MECCANICA CLASSICA. AUTONOMIA DI GIUDIZIO - AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI DISCERNERE LE STRUTTURE GEOMETRICHE CHE SOTTOSTANNO AD ALCUNE SEMPLICI EQUAZIONI DIFFERENZIALI, SIA ORDINARIE CHE ALLE DERIVATE PARZIALI, CON PARTICOLARE RIGUARDO ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLA MECCANICA CLASSICA. SARÀ INOLTRE IN GRADO DI DISCERNERE QUALI ASPETTI DI UN SISTEMA DINAMICO DELLA FISICA CLASSICA DIPENDANO DALLA SCELTA DELLE COORDINATE E QUALI, INVECE, SIANO INTRINSECI, CIOÈ INDIPENDENTI DALLA SCELTA DELLE COORDINATE. ABILITÀ COMUNICATIVE - ATTRAVERSO LA RISOLUZIONE DI COMPITI A CASA ASSEGNATI SU BASE SETTIMANALE E LA EVENTUALE DISCUSSIONE DELLE SOLUZIONI CON IL DOCENTE, LO STUDENTE IMPARERÀ A COMUNICARE CON CHIAREZZA, SINTESI E RIGORE, SIA PER ISCRITTO CHE ORALMENTE, DIMOSTRAZIONI ELABORATE IN AUTONOMIA DI SEMPLICI ASSERTI (DI NATURA GEOMETRICA). ATTRAVERSO LA PREPARAZIONE DELLA PROVA ORALE, INOLTRE, LO STUDENTE IMPARERÀ AD ESPORRE IN MODO ORGANICO E COMPLETO, UTILIZZANDO CORRETTAMENTE IL REGISTRO COLTO, NON SOLO LE SINGOLE DEFINIZIONI E PROPOSIZIONI TRATTATE A LEZIONE MA ANCHE I COLLEGAMENTI LOGICI TRA LE DIVERSE PARTI DEL CORSO E, PIÙ IN GENERALE, LA STRUTTURA DELLA TEORIA. CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO - AL TERMINE DEL CORSO LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI STUDIARE IN AUTONOMIA UN QUALUNQUE MANUALE DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE CONTEMPORANEA, ANCHE DI LIVELLO AVANZATO, TANTO NEL LINGUAGGIO QUANTO NEI CONTENUTI, COLMANDO EVENTUALI LACUNE PRESENTI NELLE DIMOSTRAZIONI DEI PIÙ SEMPLICI ASSERTI DEL TESTO CHE STA STUDIANDO. SARÀ INOLTRE IN GRADO DI EFFETTUARE RICERCHE BIBLIOGRAFICHE AL FINE DI DOCUMENTARSI SU ARGOMENTI COMPLESSI E SPECIALISTICI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE PER LA PREPARAZIONE DI UN SEMINARIO E/O DI UN ELABORATO SCRITTO (AD ESEMPIO UNA TESI DI LAUREA). |
| Prerequisiti | |
|---|---|
| LE UNICHE PROPEDEUTICITÀ RICHIESTE SONO I CORSI DI GEOMETRIA, ALGEBRA E ANALISI DELLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA (O FISICA). SONO UTILI, MA NON INDISPENSABILI, CONOSCENZE DI TEORIA DEGLI ANELLI. |
| Contenuti | |
|---|---|
| 1. VARIETÀ LISCE (5 ORE). CARTE E ATLANTI. STRUTTURE DIFFERENZIABILI. VARIETÀ LISCE. PROPRIETÀ TOPOLOGICHE DELLE VARIETÀ. ESEMPI. 2. MAPPE LISCE TRA VARIETÀ (7 ORE). FUNZIONI LISCE SU UNA VARIETÀ. LEMMA DI INCOLLAMENTO. MAPPE LISCE. PULL-BACK. DIFFEMORFISMI. SOTTOVARIETÀ. 3. SPAZI TANGENTI AD UNA VARIETÀ (8 ORE). VETTORI TANGENTI. TEOREMA DEL VETTORE TANGENTE. MAPPE TANGENTI. CAMBIO DI COORDINATE. IL FIBRATO TANGENTE E LE SUE SEZIONI. 4. IMMERSIONI, SOMMERSIONI, EMBEDDING E SOTTOVARIETÀ (6 ORE). RANGO DI UNA MAPPA LISCIA. IMMERSIONI, SOMMERSIONI E DIFFEOMORFISMI LOCALI. TEOREMA DEL RANGO. SOTTOVARIETÀ IMMERSE E EMBEDDING. 5. CAMPI VETTORIALI E FLUSSI (10 ORE). CAMPI VETTORIALI E LORO PROPRIETÀ ALGEBRICHE. LEMMA DI INCOLLAMENTO PER I CAMPI VETTORIALI. CAMPI VETTORIALI E MAPPE LISCE. CURVE INTEGRALI. TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ DELLE CURVE INTEGRALI. FLUSSI. DERIVATA DI LIE. SIMMETRIE E SIMMETRIE INFINITESIMALI. 6. FIBRATO COTANGENTE E FORME DIFFERENZIALI (12 ORE). COVETTORI E FIBRATO COTANGENTE. DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE. PULL-BACK DI COVETTORI. 1-FORME. FORME ALTERNANTI. ALGEBRE GRADATE. FORME DIFFERENZIALI. CALCOLO DI CARTAN. |
| Metodi Didattici | |
|---|---|
| LA DIDATTICA AVVERRÀ PRINCIPALMENTE MEDIANTE LEZIONI FRONTALI. TUTTAVIA, A LEZIONE, SARANNO PROPOSTI ESERCIZI E PROBLEMI CHE LO STUDENTE DOVRÀ RISOLVERE COME “COMPITO A CASA”, ALLO SCOPO DI PROMUOVERE UNA FORMA DI APPRENDIMENTO “ATTIVO” (E, PER QUESTO, PIÙ EFFICACE), NONCHÉ L’AUTONOMIA DI GIUDIZIO SUGLI ARGOMENTI DELL’INSEGNAMENTO. DURANTE IL CORSO, IL DOCENTE SARÀ DISPONIBILE A VERIFICARE LO SVOLGIMENTO DEI COMPITI A CASA, DURANTE L'ORARIO DI RICEVIMENTO. |
| Verifica dell'apprendimento | |
|---|---|
| LA VERIFICA FINALE HA LO SCOPO DI ACCERTARE L’APPRENDIMENTO DELLA TEORIA ILLUSTRATA DURANTE L’INSEGNAMENTO, LA COMPRENSIONE DEL SUO RUOLO NEL PANORAMA DELLA MATEMATICA CONTEMPORANEA, NONCHÉ LE CAPACITÀ, DA PARTE DELLO STUDENTE, DI APPLICARLA PER LA RISOLUZIONE DI SEMPLICI ESERCIZI, ANCHE IN AMBITO ANALITICO E FISICO-MATEMATICO. L’ESAME, DELLA DURATA DI UN'ORA CIRCA, CONSISTERÀ DI TRE PROVE: 1. UNA DISCUSSIONE ORALE DEI "COMPITI A CASA” PROPOSTI, DELLA DURATA DI 15 MINUTI CIRCA, CON LO SCOPO DI ACCERTARE L'AUTONOMIA DI GIUDIZIO DELLO STUDENTE RIGUARDO AI CONTENUTI DEL PROGRAMMA. OGGETTO DI QUESTA PRIMA PROVA SARANNO 1 O DUE ESERCIZI TRA QUELLI ASSEGNATI DURANTE IL CORSO. 2. LA RISOLUZIONE DI POCHI ESERCIZI INEDITI, DELLA DURATA DI 10 MINUTI CIRCA, CON LO SCOPO DI ACCERTARE LA CAPACITÀ DELLO STUDENTE DI APPLICARE LA TEORIA IN SITUAZIONI CONCRETE, DI NATURA COMPUTAZIONALE. OGGETTO DELLA SECONDA PROVA SONO IL RANGO DI UNA MAPPA LISCIA E IL CALCOLO DI CARTAN, INCLUSO IL PULL-BACK DI FORME DIFFERENZIALI LUNGO MAPPE LISCE. 3. UN COLLOQUIO ORALE, DELLA DURATA DI 35 MINUTI CIRCA, CON LO SCOPO DI ACCERTARE LA CONOSCENZA DA PARTE DELLO STUDENTE DEI CONTENUTI TEORICI DEL CORSO. OGGETTO DELLA TERZA PROVA SARÀ L'INTERO PROGRAMMA. LA PROVA SI SVILUPPERÀ LUNGO 3 DOMANDE. IN PARTICOLARE LO STUDENTE INIZIERÀ, TIPICAMENTE, ILLUSTRANDO UN ARGOMENTO SCELTO A PIACERE TRA QUELLI TRATTATI NEL CORSO. LE RIMANENTI DUE DOMANDE RIGUARDERANNO PORZIONI DEL PROGRAMMA NON GIÀ ILLUSTRATE DALLO STUDENTE. A QUESTO RIGUARDO IL PROGRAMMA DEL CORSO VA IMMAGINATO COME DIVISO IN 3 MACROPORZIONI: 1) VARIETÀ E MAPPE LISCE, 2) CAMPI VETTORIALI, FLUSSI E SIMMETRIE, 3) FORME DIFFERENZIALI. LE TRE PROVE SI SVOLGERANNO NELLA STESSA SEDUTA. NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, LA VALUTAZIONE DELLE PROVE 1. E 2. PESERÀ PER IL 20% MENTRE IL COLLOQUIO ORALE PER IL RESTANTE 80%. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE. |
| Testi | |
|---|---|
| L. VITAGLIANO, A PRIMER ON SMOOTH MANIFOLDS, WORLD SCIENTIFIC. UN ALTRO TESTO DI RIFERIMENTO È J. M. LEE, INTRODUCTION TO SMOOTH MANIFOLDS (II EDIZIONE), GRADUATE TEXT IN MATHEMATICS, SPRINGER. GLI ASPETTI TOPOLOGICI POSSONO ESSERE APPROFONDITI SUL TESTO J. M. LEE, INTRODUCTION TO TOPOLOGICAL MANIFOLDS (II EDIZIONE), GRADUATE TEXT IN MATHEMATICS, SPRINGER. ALL'INDIRIZZO HTTP://WWW.DIPMAT2.UNISA.IT/PEOPLE/VITAGLIANO/WWW/MAIN.PDF SONO INOLTRE DISPONIBILI LE DISPENSE DEL CORSO (INCLUSI ESERCIZI E PROBLEMI ASSEGNATI COME "HOMEWORK") REDATTE DAL DOCENTE. |
| Altre Informazioni | |
|---|---|
| TUTTE LE INFORMAZIONI RILEVANTI SULL'INSEGNAMENTO SONO ANCHE DISPONIBILI ALLA PAGINA: HTTP://WWW.DIPMAT2.UNISA.IT/PEOPLE/VITAGLIANO/WWW/ISTITUZIONI.HTML |
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