Luca VITAGLIANO | Projects

CONTACT, POISSON AND RELATED GEOMETRIES

Il progetto ha lo scopo di iniziare uno studio sistematico delle varietà di Jacobi e di alcune delle loro generalizzazioni/specializzazioni, ad esempio dovute alla presenza di una metrica come nel caso delle varietà di Sasaki. La Geometria di Jacobi è stata per molti versi trascurata negli anni, nonostante la sua capacità di sintetizzare numerose importanti strutture geometriche. Le stesse varietà di Poisson si possono riguardare come varietà di Jacobi per evidenziarne proprietà "nascoste". Questo approccio alla Geometria di Poisson risulta particolarmente originale e innovativo. Direzioni di ricerca:1. Geometria di Contatto Generalizzata. Le varietà complesse generalizzate comprendono le varietà simplettiche e le varietà complesse come casi limite. In ogni caso, possono essere riviste come varietà di Poisson munite di strutture addizionali. Le strutture complesse generalizzate sono supportate da varietà di dimensione pari. Recentemente sono stati introdotti i loro analoghi in dimensione dispari: le strutture di contatto generalizzate. Il progetto si propone di avviare uno studio sistematico di queste strutture. In particolare: discuterne la struttura locale, le deformazioni, e la relazione con le varietà di Jacobi olomorfe, definire l'analogo del formalismo spinoriale in dimensione dispari, trovare un certo numero di esempi notevoli.2. Operatori Differenziali Moltiplicativi. Le strutture moltiplicative sui gruppoidi di Lie sono strutture geometriche compatibili. Il funtore di Lie associa a strutture moltiplicative, certe strutture sugli algebroidi di Lie e ci sono numerosi esempi notevoli di questa corrispondenza. Tuttavia fin'ora sono state considerate esclusivamente strutture moltiplicative del primo ordine. Il progetto si propone l'obiettivo innovativo di guardare ai mattoni della geometria differenziale, gli operatori differenziali (OD) di ordine qualunque, nel contesto dei gruppoidi di Lie. In particolare di dare una definizione di OD moltiplicativo e di identificare i corrispondenti dati infinitesimali.3. Proprietà Topologiche delle Varietà quasi-Sasaki e LCK. Sia M una varietà Riemanniana compatta con qualche struttura geometrica addizionale data da una collezione di forme differenziali scalari e a valori vettoriali, con certe relazioni tra loro. A ciascuna di tali forme w possiamo associare l’operatore di prodotto esterno con w. Inoltre ciascuna forma a valori vettoriali induce due derivazioni graduate sull’algebra di de Rham. Sia L la super-Lie algebra di operatori che agiscono sul complesso di de Rham generate dal differenziale esterno, dal codifferenziale, dagli operatori sopra definiti e dai loro aggiunti rispetto al prodotto scalare globale. È noto che per le varietà di Kaehler e hyper-Kaehler L è finito-dimensionale, inoltre la sua descrizione esplicita implica una azione di tipo Lefschetz a livello di coomologia. Ciò implica forti restrizioni sui numeri di Betti/Hodge della varietà. Il nostro scopo più ambizioso è di dare una descrizione completa di L per varietà di Sasaki, quasi-Sasaki e LCK. Si tratta di un problema piuttosto difficile poiché ci aspettiamo che L sia infinito-dimensionale in questi casi. Come prima approssimazione procederemo come segue. Sia H il sottospazio delle forme armoniche su M e sia S l’L-sottomodulo del complesso di de Rham generato da H. È noto che S è finito dimensionale. Come conseguenza è stato ottenuto il teorema di Lefschetz forte per le varietà di Sasaki. Di recente tale risultato è stato esteso alle varietà di Vaisman. Ciò fornisce un buon indizio su cosa possa accadere per le varietà LCK generali. Ci aspettiamo che la descrizione di S per le varietà LCK permetta di trovare il giusto analogo del teorema di Lefschetz forte per queste varietà. Inoltre studieremo le proprietà di S per una varietà 3-Sasaki, il che è interessante poiché in questo caso ci sono più operatori che generano L e quindi il modulo S è maggiore di quello ottenuto usando solo una delle strutture di Sasaki.