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MODELLI E METODI PER LA DIPENDENZA STOCASTICA ED APPLICAZIONI A SISTEMI IN EVOLUZIONE

Il progetto di ricerca sarà rivolto verso i seguenti temi:(i) Studio di modelli probabilistici per l’affidabilità di sistemi complessi, con riferimento a sistemi collegati in rete.(ii) Analisi di modelli probabilistici per moti a velocità finita e di tipo diffusivo, in presenza di salti e di barriere di diversa natura, e studio delle leggi di probabilità corrispondenti.(iii) Sviluppo di metodi stocastici per l’analisi di sistemi biologici in evoluzione, con attenzione allo studio di misure d'informazione ed alle misure di dipendenza.(iv) Studio di nuovi modelli di passeggiate aleatorie su strutture di varia natura.Punto (i): Ci si propone di considerare sistemi coerenti aventi una fissata struttura caratterizzata dalla presenza di dipendenza. Si assume che le componenti del sistema possano essere selezionate da insiemi di varia natura. Ci si propone di fornire condizioni sufficienti sui tempi di vita dei componenti e sul numero aleatorio di componenti selezionati da ciascun insieme affinché l’affidabilità del sistema soddisfi criteri di ordinamento di tipo stocastico. Si farà particolare indagine del caso di sistemi coerenti, nel caso in cui le componenti sono dipendenti, con riguardo a vari schemi di dipendenza.Punto (ii): S’intendono analizzare versioni generali del processo del telegrafo integrato in presenza di salti di tipo aleatorio, e soggette a perturbazioni diffusive. Per tale processo si propone di ottenere le funzioni di distribuzione e le densità di probabilità, e di studiare la caratteristica di martingala, con particolare riguardo alle applicazioni in matematica finanziaria.Uno studio ulteriore che rientra nel punto (ii) sarà rivolto all’analisi del processo del telegrafo integrato in presenza di barriere di diversa natura, ad esempio di una barriera di tipo elastico. S'intende possibilmente studiare anche combinazioni di processi del telegrafo nel piano. Punto (iii): L’obiettivo consiste nello studiare modelli stocastici idonei a descrivere i tempi di sopravvivenza di sistemi biologici. Si farà riferimento a popolazioni a più specie governate da processi di nascita-morte di varia natura, ed in particolare a generalizzazioni governate da equazioni differenziali di tipo frazionario. Ci porrà attenzione anche a processi stocastici su grafi. Si porrà attenzione allo studio dei tempi di primo passaggio per lo stato zero (stato di estinzione). La parte innovativa della ricerca consisterà nell’effettuare confronti stocastici tra tali tempi aleatori ricorrendo anche al modello delle funzioni d’azzardo inverse proporzionali per descrivere lo stato iniziale dei processi coinvolti. Ci si attende di pervenire ad espressioni in forma chiusa, e studiare il comportamento asintotico delle leggi di probabilità. Lo studio coinvolgerà anche l’individuazione e l’analisi di proprietà di indici statistici e misure d'informazione basati sull'entropia cumulativa e sue generalizzazioni, sia per descrivere il contenuto d'informazione che il livello di dipendenza nei modelli stocastici considerati.Punto (iv): Ci si prefigge di studiare in dettaglio le passeggiate aleatorie bidimensionali, su strutture reticolari simmetriche, puntando alla determinazione della probabilità di transizione ed alla risoluzione di opportuni sistemi di equazioni alle differenze. Lo studio di tale processo sarà poi arricchito dall’indagine del suo comportamento asintotico, anche facendo uso di strumenti della teoria delle grandi deviazioni. Possibilmente si studieranno anche passeggiate aleatorie sia continue che discrete, soggette a catastrofi, in presenza di barriere riflettenti o nel caso bilaterale.