CRISTIAN TACELLI | MATEMATICA II

cod. 0612100002

MATEMATICA II

	0612100002
	DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
	CORSO DI LAUREA
	INGEGNERIA CIVILE
	2018/2019

PERCORSO COMUNE

	OBBLIGATORIO
	ANNO CORSO 1
	ANNO ORDINAMENTO 2018
	SECONDO SEMESTRE

MODULI

	SSD	CFU	ORE	ATTIVITÀ	TIPO DI ATTIVITÁ FORMATIVA
	MAT/05	9	90	LEZIONE	BASE

	Obiettivi
	L'INSEGNAMENTO HA COME SCOPO L'APPRofoNDIMENTO DEI CONCETTI DI BASE DELL'ANALISI MATEMATICA, DEL CALCOLO e della geometria, l’acquisizione degli strumenti di base dell’algebra lineare E LE LORO APPLICAZIONI FISICHE e ingegneristiche. 1. CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: IL CORSO È FINALIZZATO All’arricchimento DEL LINGUAGGIO MATEMATICO e all’approfondimento DEI CONCETTI MATEMATICI DI BASE E DELLA LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA CON PARTICOLARE RIGUARDO AI SEGUENTI ARGOMENTI: matrici e sistemi lineari; spazi vettoriali ed euclidei; autovalori e diagonalizzazione; geometria analitica nello spazio; Successioni e serie di funzioni; Funzioni di più variabili; Equazioni differenziali; Curve e integrali curvilinei; Forme differenziali e integrali su curve; Integrali multipli; Superfici e integrali superficiali. 2. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE CAPACE DI FORMULARE IN TERMINI MATEMATICI E RISOLVERE SEMPLICI PROBLEMI DELLE SCIENZE APPLICATE ED IN PARTICOLARE DELL'INGEGNERIA. DAL PUNTO DI VISTA OPERATIVO, LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI utilizzare il calcolo vettoriale e matriciale, risolvere sistemi di equazioni lineari, calcolare autovalori e autovettori, descrivere in forma analitica e rappresentare figure geometriche nello spazio, stabilire la convergenza di successioni e serie di funzioni e calcolare semplici somme di serie, utilizzare il calcolo differenziale in più variabili, risolvere problemi di massimo e minimo, risolvere equazioni differenziali, calcolare la lunghezza di una curva e integrali curvilinei di funzioni e forme differenziali, calcolare integrali multipli, aree e integrali di superficie. 3. AUTONOMIA DI GIUDIZIO: LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI SCEGLIERE I MODELLI E I METODI MATEMATICI PIÙ ADATTI ALLE VARIE SITUAZIONI E DI VERIFICARNE LA VALIDITÀ DEI RISULTATI OTTENUTI. 4. ABILITÀ COMUNICATIVE: LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE CAPACE DI ESPORRE CON LINGUAGGIO TECNICO ADEGUATO E RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE LE NOZIONI E TECNICHE MATEMATICHE ACQUISITE, E DI INTEGRARLE CON QUELLE TIPICHE DELLE ALTRE DISCIPLINE. 5. CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: LO STUDENTE DOVRÀ ACQUISIRE UN BACKGROUND MATEMATICO TALE DA CONSENTIRGLI DI APPRENDERE SENZA DIFFICOLTÀ ARGOMENTI MATEMATICI PIÙ AVANZATI E CONTENUTI DI ALTRE DISCIPLINE SCIENTIFICHE CHE USANO STRUMENTI MATEMATICI.

L'INSEGNAMENTO HA COME SCOPO L'APPRofoNDIMENTO DEI CONCETTI DI BASE DELL'ANALISI MATEMATICA, DEL CALCOLO e della geometria, l’acquisizione degli strumenti di base dell’algebra lineare E LE LORO APPLICAZIONI FISICHE e ingegneristiche.
1. CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: IL CORSO È FINALIZZATO All’arricchimento DEL LINGUAGGIO MATEMATICO e all’approfondimento DEI CONCETTI MATEMATICI DI BASE E DELLA LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA CON PARTICOLARE RIGUARDO AI SEGUENTI ARGOMENTI: matrici e sistemi lineari; spazi vettoriali ed euclidei; autovalori e diagonalizzazione; geometria analitica nello spazio; Successioni e serie di funzioni; Funzioni di più variabili; Equazioni differenziali; Curve e integrali curvilinei; Forme differenziali e integrali su curve; Integrali multipli; Superfici e integrali superficiali.
2. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE CAPACE DI FORMULARE IN TERMINI MATEMATICI E RISOLVERE SEMPLICI PROBLEMI DELLE SCIENZE APPLICATE ED IN PARTICOLARE DELL'INGEGNERIA. DAL PUNTO DI VISTA OPERATIVO, LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI utilizzare il calcolo vettoriale e matriciale, risolvere sistemi di equazioni lineari, calcolare autovalori e autovettori, descrivere in forma analitica e rappresentare figure geometriche nello spazio, stabilire la convergenza di successioni e serie di funzioni e calcolare semplici somme di serie, utilizzare il calcolo differenziale in più variabili, risolvere problemi di massimo e minimo, risolvere equazioni differenziali, calcolare la lunghezza di una curva e integrali curvilinei di funzioni e forme differenziali, calcolare integrali multipli, aree e integrali di superficie.
3. AUTONOMIA DI GIUDIZIO: LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI SCEGLIERE I MODELLI E I METODI MATEMATICI PIÙ ADATTI ALLE VARIE SITUAZIONI E DI VERIFICARNE LA VALIDITÀ DEI RISULTATI OTTENUTI.
4. ABILITÀ COMUNICATIVE: LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE CAPACE DI ESPORRE CON LINGUAGGIO TECNICO ADEGUATO E RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE LE NOZIONI E TECNICHE MATEMATICHE ACQUISITE, E DI INTEGRARLE CON QUELLE TIPICHE DELLE ALTRE DISCIPLINE.
5. CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: LO STUDENTE DOVRÀ ACQUISIRE UN BACKGROUND MATEMATICO TALE DA CONSENTIRGLI DI APPRENDERE SENZA DIFFICOLTÀ ARGOMENTI MATEMATICI PIÙ AVANZATI E CONTENUTI DI ALTRE DISCIPLINE SCIENTIFICHE CHE USANO STRUMENTI MATEMATICI.

	Prerequisiti
	Funzioni di una variabile reale e geometria analitica del piano. Derivate e integrali delle potenze, con esponente anche frazionario, e delle funzioni razionali, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche. Regole di derivazione e tecniche di integrazione. Serie numeriche e integrali impropri.

	Contenuti
	1. Spazi vettoriali ed euclidei: Spazi vettoriali e sottospazi. Lineare indipendenza. Basi e dimensione. Applicazione ai sistemi lineari – Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare, norme, angoli. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Ortogonalità (ore Lezioni/Esercitazioni 6/4) 2. Matrici e sistemi lineari: Matrici. Determinati e rango – Sistemi lineari. Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli. Metodo di Gauss – Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Moltepilcità algebrice e geometrica. Diagonalizzazione (8/6) 3. Geometria analitica dello spazio: Richiami di geometria analitica del piano – Coordinate cartesiane nello spazio. Equazioni di rette e piani. Prodotto vettoriale. Condizioni di parallelismo e ortogonalità (2/4) 4. Successioni e serie di funzioni: Richiami sulle serie numeriche – Convergenza puntuale e uniforme. Teorema di continuità del limite uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata – Serie di funzioni. Convergenza totale e uniforme. Teoremi di integrazione per serie e di derivazione termine a termine – Serie di potenze. Intervallo e raggio di convergenza. Analiticità. Serie di Taylor (5/3) 5. Funzioni di più variabili: Cenni di topologia in IRn. Limiti e continuità – Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz – Gradiente. Differenziabilità. Funzioni composte. Derivate direzionali. Curve di livello. Funzioni con gradiente nullo in un connesso – Formula di Taylor e differenziali del secondo ordine. Matrice hessiana. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi e assoluti – Funzioni a valori vettoriali e matrice jacobiana (5/5) 6. Equazioni differenziali: Soluzione generale e problema di Cauchy. Equivalenza di un’equazione di ordine n con un sistema di n equazioni del primo ordine – Teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy e conseguenze. Teorema di esistenza e unicità globale. Soluzione massimale – Equazioni a variabili separabili – Equazioni differenziali lineari. Wronskiano e lineare indipendenza. Struttura dell’integrale generale delle equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee. Equazioni di Bernoulli – Equazioni differenziali di ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Sistemi lineari (6/6) 7. Curve e integrali curvilinei: Curve regolari. Vettore direzione e versore tangente. Verso di una curva – Lunghezza di una curva. Rettificabilità. Curve regolari a tratti. Integrale curvilineo di una funzione (3/2) 8. FORME DIFFERENZIALI: Campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi – Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primitive e potenziale del campo di forze associato – Criterio di esattezza negli aperti connessi. Forme chiuse. Criterio di esattezza negli aperti stellati (4/3) 9. INTEGRALI MULTIPLI: Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione – Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza. Formula di Stokes – Cambiamento di variabili. Coordinate polari – Integrali tripli e in più dimensioni (5/7) 10. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE: Superfici regolari. Piano tangente e versore normale – Area di una superficie – Superfici orientabili. Superfici con bordo – Integrali di superficie. Formula di Stokes e teorema della divergenza in 3D (4/2)

Contenuti

1. Spazi vettoriali ed euclidei: Spazi vettoriali e sottospazi. Lineare indipendenza. Basi e dimensione. Applicazione ai sistemi lineari – Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare, norme, angoli. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Ortogonalità (ore Lezioni/Esercitazioni 6/4)

2. Matrici e sistemi lineari: Matrici. Determinati e rango – Sistemi lineari. Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli. Metodo di Gauss – Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Moltepilcità algebrice e geometrica. Diagonalizzazione (8/6)

3. Geometria analitica dello spazio: Richiami di geometria analitica del piano – Coordinate cartesiane nello spazio. Equazioni di rette e piani. Prodotto vettoriale. Condizioni di parallelismo e ortogonalità (2/4)

4. Successioni e serie di funzioni: Richiami sulle serie numeriche – Convergenza puntuale e uniforme. Teorema di continuità del limite uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata – Serie di funzioni. Convergenza totale e uniforme. Teoremi di integrazione per serie e di derivazione termine a termine – Serie di potenze. Intervallo e raggio di convergenza. Analiticità. Serie di Taylor (5/3)

5. Funzioni di più variabili: Cenni di topologia in IRn. Limiti e continuità – Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz – Gradiente. Differenziabilità. Funzioni composte. Derivate direzionali. Curve di livello. Funzioni con gradiente nullo in un connesso – Formula di Taylor e differenziali del secondo ordine. Matrice hessiana. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi e assoluti – Funzioni a valori vettoriali e matrice jacobiana (5/5)

6. Equazioni differenziali: Soluzione generale e problema di Cauchy. Equivalenza di un’equazione di ordine n con un sistema di n equazioni del primo ordine – Teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy e conseguenze. Teorema di esistenza e unicità globale. Soluzione massimale – Equazioni a variabili separabili – Equazioni differenziali lineari. Wronskiano e lineare indipendenza. Struttura dell’integrale generale delle equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee. Equazioni di Bernoulli – Equazioni differenziali di ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Sistemi lineari (6/6)

7. Curve e integrali curvilinei: Curve regolari. Vettore direzione e versore tangente. Verso di una curva – Lunghezza di una curva. Rettificabilità. Curve regolari a tratti. Integrale curvilineo di una funzione (3/2)

8. FORME DIFFERENZIALI: Campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi – Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primitive e potenziale del campo di forze associato – Criterio di esattezza negli aperti connessi. Forme chiuse. Criterio di esattezza negli aperti stellati (4/3)

9. INTEGRALI MULTIPLI: Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione – Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza. Formula di Stokes – Cambiamento di variabili. Coordinate polari – Integrali tripli e in più dimensioni (5/7)

10. SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE: Superfici regolari. Piano tangente e versore normale – Area di una superficie – Superfici orientabili. Superfici con bordo – Integrali di superficie. Formula di Stokes e teorema della divergenza in 3D (4/2)

	Metodi Didattici
	L'INSEGNAMENTO CONSISTE IN 48 ORE DI LEZIONI TEORICHE FRONTALI CON ESEMPI E 42 ORE DI ESERCITAZIONE PER UN TOTALE DI 90 ORE (9 CFU). LA FREQUENZA È OBBLIGATORIA, ATTESTABILE MEDIANTE BADGE PERSONALE DELLO STUDENTE, PER ALMENO IL 70% DELLE ORE del corso.

	Verifica dell'apprendimento
	L'ESAME CONSISTE IN DUE PARTI: PROVA SCRITTA CON ESERCIZI TEORICI E NUMERICI A RISPOSTA APERTA MIRANTE A VERIFICARE LA CAPACITÀ DI APPLICAZIONE E L'AUTONOMIA DI GIUDIZIO; PROVA ORALE CON DOMANDE CONCETTUALI E TECNICHE SUGLI ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE VOLTA A VERIFICARE LE CONOSCENZE, LO SPIRITO CRITICO E LA CAPACITÀ DI ESPOSIZIONE. Il voto finale, espresso in trentesimi, è il risultato della valutazione complessiva ottenuta sulla base della prova scritta e della prova orale.

Verifica dell'apprendimento

L'ESAME CONSISTE IN DUE PARTI: PROVA SCRITTA CON ESERCIZI TEORICI E NUMERICI A RISPOSTA APERTA MIRANTE A VERIFICARE LA CAPACITÀ DI APPLICAZIONE E L'AUTONOMIA DI GIUDIZIO; PROVA ORALE CON DOMANDE CONCETTUALI E TECNICHE SUGLI ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE VOLTA A VERIFICARE LE CONOSCENZE, LO SPIRITO CRITICO E LA CAPACITÀ DI ESPOSIZIONE.
Il voto finale, espresso in trentesimi, è il risultato della valutazione complessiva ottenuta sulla base della prova scritta e della prova orale.

	Testi
	N. FUSCO, P. MARCELLINI, C. SBORDONE, ANALISI MATEMATICA DUE, LIGUORI EDITORE P.MARCELLINI, C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, Volume 2, Parte I, LIGUORI EDITORE P.MARCELLINI, C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, Volume 2, Parte I, LIGUORI EDITORE Dispense del docente ROBERT A. ADAMS, CRISTOPHER ESSEX, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 7TH EDITION, PEARSON. Lecture notes

	Altre Informazioni
	Il corso si avvale di tutor di supporto alla didattica

BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2019-10-21]

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