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GEOMETRIA IV

Chiara ESPOSITO GEOMETRIA IV

0512300013
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2023/2024

OBBLIGATORIO
ANNO CORSO 3
ANNO ORDINAMENTO 2018
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
CHIARA ESPOSITO T Curriculum
Obiettivi
IL CORSO SI PROPONE DI FORNIRE AGLI STUDENTI SIA UNA SOLIDA BASE TEORICA NELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, SIA LA CAPACITÀ DI APPLICARE QUESTE CONOSCENZE IN CONTESTI PRATICI ATTRAVERSO ESERCITAZIONI E PROBLEMI.

- CONOSCENZA E COMPRENSIONE:

GLI STUDENTI DOVREBBERO ACQUISIRE UNA CONOSCENZA APPROFONDITA DEI CONCETTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, COMPRESI CONCETTI COME SOTTOVARIETÀ NEGLI SPAZI EUCLIDEI, CURVE E SUPERFICI IN R3. LO STUDENTE AVRÀ MODO DI COMPRENDERE COME APPLICARE LE NOZIONI DI ANALISI E ALGEBRA LINEARE PRECEDENTEMENTE APPRESE PER STUDIARE LE PROPRIETÀ INFINITESIMALI DEGLI OGGETTI GEOMETRICI. CIÒ LI RENDERÀ IN GRADO DI RICONOSCERE COME LE PROPRIETÀ INFINITESIMALI SI RIFLETTANO NELLE PROPRIETÀ GLOBALI E TOPOLOGICHE DEGLI OGGETTI GEOMETRICI.

- CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:

GLI STUDENTI DOVREBBERO ESSERE IN GRADO DI APPLICARE CONCRETAMENTE LE NOZIONI TEORICHE APPRESE. QUESTO POTREBBE INCLUDERE LA CAPACITÀ DI RISOLVERE PROBLEMI PRATICI CHE COINVOLGONO CONCETTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE. UN'ATTENZIONE PARTICOLARE VIENE DATA AGLI ESERCIZI, CHE COSTITUISCONO UNA PARTE SIGNIFICATIVA DEL CORSO, PERMETTENDO AGLI STUDENTI DI METTERE IN PRATICA LE LORO CONOSCENZE ATTRAVERSO L'APPLICAZIONE PRATICA DEI CONCETTI TEORICI.

Prerequisiti
GLI STUDENTI DOVREBBERO AVERE FAMILIARITÀ CON I SEGUENTI ARGOMENTI:

ALGEBRA LINEARE: QUESTO INCLUDE CONCETTI COME SPAZI VETTORIALI, TRASFORMAZIONI LINEARI, SPAZI DUALI, AUTOVALORI E AUTOVETTORI, E DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI, SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI, PRODOTTO SCALARE, PRODOTTO VETTORIALE. QUESTI CONCETTI SONO FONDAMENTALI PER COMPRENDERE MOLTE DELLE NOZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE, IN PARTICOLARE QUANDO SI TRATTA DI SPAZI VETTORIALI TANGENTI E NORMALI, E TRASFORMAZIONI LINEARI UTILIZZATE PER DESCRIVERE PROPRIETÀ GEOMETRICHE.

GEOMETRIA ANALITICA: QUESTO POTREBBE INCLUDERE CONOSCENZE SU COORDINATE CARTESIANE, DISTANZE E LUNGHEZZE, EQUAZIONI DI LINEE E PIANI, CONICHE E ALTRE CURVE. LA GEOMETRIA ANALITICA FORNISCE LA BASE PER COMPRENDERE COME LE NOZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE SI INTEGRANO CON LA GEOMETRIA CLASSICA, IN PARTICOLARE QUANDO SI TRATTA DI DESCRIVERE CURVE E SUPERFICI NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE.

CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE: QUESTO COMPRENDE LE REGOLE DI DERIVAZIONE E INTEGRAZIONE. QUESTI CONCETTI SONO FONDAMENTALI PER COMPRENDERE LE DEFINIZIONI E LE PROPRIETÀ DELLE CURVE E DELLE SUPERFICI, NONCHÉ L'ANALISI DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

ESSENDO QUESTI ARGOMENTI FONDAMENTALI NEL CORSO DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE, È IMPORTANTE CHE GLI STUDENTI ABBIANO ACQUISITO QUESTE CONOSCENZE NEI CORSI OBBLIGATORI DEL LORO PERCORSO DI LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA. QUESTI PREREQUISITI SONO ESSENZIALI PER GARANTIRE CHE GLI STUDENTI SIANO IN GRADO DI COMPRENDERE APPIENO I CONCETTI E LE APPLICAZIONI TRATTATE NEL CORSO DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE.
Contenuti
IL CORSO CONSISTE DI UN UNICO MODULO, PER UN TOTALE DI 48 ORE DI DIDATTICA FRONTALE. RIPORTIAMO DI SEGUTO IL PROGRAMMA DETTAGLIATO, CON L'INDICAZIONE DEL NUMERO DI ORE PREVISTE PER CIASCUN ARGOMENTO.

1. GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE.

CURVE DIFFERENZIABILI IN R^N; LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA E ASCISSA CURVILINEA. SPAZI OSCULATORI, N-EDRO DI FRENET, EQUAZIONI DI FRENET; RICOSTRUIBILITÀ DI UNA CURVA A PARTIRE DALLE SUE CURVATURE. CURVE IN R^2 ED R^3: FORMULE DI FRENET CON PARAMETRO GENERICO; INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI CURVATURA E TORSIONE.

2. GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE SUPERFICI.

PRIMA FORMA FONDAMENTALE E GEOMETRIA INTRINSECA DI UNA SUPERFICIE. DERIVATA COVARIANTE. OPERATORE DI FORMA E SECONDA FORMA FONDAMENTALE; CURVATURE NORMALI, CURVATURE E DIREZIONI PRINCIPALI, CURVATURA TOTALE E CURVATURA MEDIA; PUNTI IPERBOLICI, ELLITTICI E PARABOLICI; SUPERFICI RIGATE E SVILUPPABILI; SUPERFICI DI ROTAZIONE. THEOREMA EGREGIUM. TRASPORTO PARALLELO; CURVATURA GEODETICA; CURVE GEODETICHE E LORO PROPRIETÀ DI MINIMO. OPERATORI DIFFERENZIALI SULLE SOTTOVARIETÀ (GRADIENTE, DIVERGENZA, LAPLACIANO). TEOREMA DI GAUSS-BONNET.

3. INTRODUZIONE ALLE VARIETÀ DIFFERENZIABILI, MAPPE DIFFERENZIABILI E PRIMI ESEMPI

PRIME DEFINIZIONI E GENERALIZZAZIONE DI QUANTO VISTO PER LE SUPERFICI REGOLARI.
Metodi Didattici
LE LEZIONI FRONTALI CONSENTIRANNO ALLO STUDENTE DI ACQUISIRE LE NOZIONI TEORICHE DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE ELENCATE NELLA SEZIONE "CONTENUTI DEL CORSO". IL DOCENTE ATTRAVERSO DELLE ESERCITAZIONI MOSTRERÀ ALLO STUDENTE COME LE NOZIONI TEORICHE APPRESE SI APPLICHINO AD ESEMPI CONCRETI; INOLTRE, LA DIMOSTRAZIONE DI ALCUNI TEOREMI VERRÀ PROPOSTA SOTTO FORMA DI SERIE DI ESERCIZI, LA CUI RISOLUZIONE PORTERÀ GRADUALMENTE LO STUDENTE AL RISULTATO TEORICO FINALE. PARTE DEGLI ESERCIZI VERRÀ SVOLTA DAL DOCENTE IN AULA, MENTRE ALTRI SARANNO PROPOSTI COME HOMEWORK, IN MODO CHE LO STUDENTE POSSA SVILUPPARE LA PROPRIA CAPACITÀ DI RISOLVERE PROBLEMI IN MANIERA AUTONOMA.
Verifica dell'apprendimento
L'ESAME CONSISTE IN UNA PROVA SCRITTA ED UNA ORALE, DELLA DURATA DI CIRCA 30 MINUTI. LO SCRITTO VERTERÀ SU ESERCIZI SIMILI A QUELLI ASSEGNATI COME HOMEWORKS DURANTE L'ANNO. DURANTE L'ORALE LO STUDENTE DOVRÀ RISPONDERE A DOMANDE DI TEORIA SULLE DEFINIZIONI, I TEOREMI E LE DIMOSTRAZIONI DISCUSSE DURANTE IL CORSO; IL VOTO FINALE SI OTTERRÀ DA UNA COMBINAZIONE PESATA DI SCRITTO E ORALE. LA LODE VIENE DATA AGLI STUDENTI CHE MOSTRANO PIENA PADRONANZA DELL'ARGOMENTO E PENSIERO AUTONOMO.
Testi
TESTI DI RIFERIMENTO:

- M. ABATE, F. TOVENA, CURVE E SUPERFICI, SPRINGER 2006

- M. DO CARMO: DIFFERENTIAL GEOMETRY OF CURVES AND SURFACES, SECOND EDITION (DOVER 2016)

- W. KLINGENBERG, A COURSE IN DIFFERENTIAL GEOMETRY
Altre Informazioni
CHESPOSITO@UNISA.IT
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2024-11-05]