Francesco CIARDIELLO | Dettaglio programma

Programma di Matematica per l' economia-

Corso di Economia Aziendale, Anno 24-25 (Matricole dispari).

60 ore (10 CFU)

Teoria degli insiemi

L’operatore unione, intersezione, differenza tra insiemi. Formula di De Morgan (con dimostrazione grafica). Concetto di relazione su insiemi. Presentazione dei numeri reali, razionali ed irrazionali, numeri interi e numeri relativi. Relazione d’ordine sull’insieme dei numeri reali e sue proprietà. Calcolo combinatorio con le definizioni del concetto di disposizione, combinazione. Principio di induzione per numeri naturali. Dimostrazione di alcune proprietà basiche tramite il principio di induzione. Formula di Newton. Formula della differenza di potenze ennesime.

Funzioni di variabile reale a valori reali

Relazione su insiemi numerici. Funzione reale a valori reali. Funzione iniettiva e suriettiva. Definizione di funzione crescente e strettamente crescente. Estensione del precedente concetto a funzioni monotone. La funzione esponenziale le sue proprietà. La funzione logaritmica e le sue proprietà. La funzione valore assoluto e le sue proprietà.

Limiti.

Definizione di intorno, aperto, chiuso, parte interna e parte esterna di un sottoinsieme generico della retta reale. Proprietà generiche della topologia sull’asse reale, tra cui il comportamento rispetto all’operatore unione ed intersezione. Concetto di punto di accumulazione per un sottoinsieme numerico. Definizione del concetto di limite nelle sue varie estensioni incluse quelle relative all’asse reale. Concetto di limite per successioni numeriche a valori reali. Caratterizzazione grafica del concetto di limite. Alcuni teoremi sui limiti con dimostrazione: primo teorema del confronto e secondo teorema del confronto, primo teorema della permanenza del segno e secondo teorema della permanenza del segno. Teorema della convergenza obbligata o dei due carabinieri. Teorema sulla unicità del limite, Teorema sul limite del valore assoluto. Teorema del limite della funzione composta, teorema della locale limitatezza. Forme indeterminate dei limiti rispetto alle operazioni elementari tra funzioni: il caso delle funzioni razionali. Definizione di limite destro e limite sinistro. Discontinuità e classificazioni delle funzioni. Funzioni continue e proprietà delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass, teorema del punto di fisso e teorema di Bolzano (solo enunciati). Teorema degli zeri.

Derivate

Concetto di derivata e significato geometrico della derivata. Derivate di funzioni elementari (con dimostrazione del caso funziona potenza e logaritmo.) Teoremi sulla continuità di funzioni derivabili. Teoremi di Lagrange e Rolle e Cauchy. Teorema di De L’hopital per la risoluzioni di limiti notevoli con dimostrazione come conseguenza del teorema di Cauchy. Massimo e minimo assoluti. Ricerca dei massimi e minimi assoluti di funzioni continue. Definizione di funzione concave e convessa. Condizione necessaria di massimi\minimi locali di funzioni. Prima condizione sufficiente per la esistenza di massimi\minimi locali. Seconda condizione sufficiente per la esistenza di massimi e minimi locali. Condizione sufficiente e necessaria per la locale crescenza di funzioni derivabili. Esercizi.

Algebra lineare

Definizione di un sistema di equazioni lineari. Proprietà basilari delle matrici. Definizione di un rango di una matrice. Definizione del determinante di una matrice quadrata. Teorema di Rouche’-Capelli. Teorema di Kramer. Risoluzione dell’inversa di una matrice non singolare. Risoluzioni di sistemi di equazioni lineari in presenza di parametro. Discussione geometrica delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari in due incognite sul piano cartesiano. Esercizi.