Antonio VITOLO | Progetti

EQUAZIONI ELLITTICHE NON LINEARI CON EVENTUALI DEGENERAZIONI

Questo progetto, continuazione della precedente ricerca, è focalizzato su alcuni temi di ricerca attuali, relativi ad aspetti qualitativi e quantitativi delle equazioni ellittiche fully nonlinear, e prosegue quindi lo studio già intrapreso con soddisfacenti risultati per quanto riguarda alcuni degli obiettivi considerati. Si approfondisce lo studio del Laplaciano parziale e degli operatori di Pucci degeneri, per i quali sono stati ottenuti di recente da Harvey e Lawson e da Caffarelli, Li e Nirenberg teoremi di esistenza e unicità, principi di massimo e caratterizzazione delle singolarità eliminabili. Alcuni risultati sulle singolarità eliminabili sono stati generalizzati, mentre si sono compiuti solo i primi passi nella direzione della teoria qualitativa delle soluzioni mirata ad ottenere stime tipo Alexandroff-Bakelman-Pucci e disuguaglianze di Harnack in vista di una successiva teoria di regolarità, che si intende sviluppare con maggiore profondità nel presente progetto. Allo stesso modo si cercherà di ottenere risultati di singolarità eliminabili incondizionati, cioè senza alcun controllo sulla crescita delle soluzioni in prossimità dell'insieme singolare.E' stata anche generalizzata, in un lavoro recentissimo di cui il responsabile è coautore, la condizione di Keller-Osserman per l'esistenza e la non-esistenza di sottosoluzioni intere, cioè definite in tutto lo spazio, al caso fully nonlinear ellittico degenere, ma resta da completare la trattazione del problema in presenza di termini nel gradiente, nella quale entra in gioco un'equazione differenziale ordinaria significativamente più complicata, che sarà oggetto di studio del presente progetto. Si continuerà anche a trattare altri tipi di ellitticità degenere, originati da una serie di lavori di Caffarelli, Li e Nirenberg, che richiedono soltanto una sorta di “uniforme ellitticità una direzione”, con l'idea di ottenere principi di massimo in domini stretti e teoremi tipo Phragmen-Lindelof.Inoltre si cercherà di ottenere risultati di continuità di Holder globale in domini illimitati di tipo cilindrico per operatori possibilmente degeneri tipo Imbert.