Antonio VITOLO | Progetti

EQUAZIONI ELLITTICHE NON LINEARI: METODI E APPLICAZIONI

Le equazioni ellittiche fully nonlinear rivestono un ruolo fondamentale nei problemi geometrici di curvatura parziale originati dai lavori di Wu e Sha degli anni ’80 e ripresi in recentissimi articoli di Harvey e Lawson, che li hanno riformulati includendoli nel contesto molto più ampio della teoria delle ‘’subequazioni’’. E’ interessante che lo studio di tali problemi, ed in particolar modo del principio di massimo che li governa, seppure sviluppato inizialmente in ambito geometrico, abbia trovato il suo ambiente naturale nei metodi di viscosità, che dalla ormai classica “User’s guide’’ di Crandall, Ishii e Lions, costituiscono uno strumento fondamentale per la trattazione delle equazioni ellittiche fully nonlinear al pari delle tecniche distribuzionali per i problemi in forma variazionale.Il progetto, che si colloca in questo ambito, prevede in particolare uno studio sistematico degli operatori degeneri rappresentabili come combinazioni lineari di autovalori della matrice hessiana, che includono gli operatori di curvatura locale media parziale, con speciale riferimento alla validità del principio di massimo e alla stima di Alexandroff-Bakelman-Pucci. Inoltre si affronta dal punto di vista quantitativo il problema dell'influenza di un termine additivo nel gradiente, che costituisce una perturbazione significativa nel caso di ellticità degenere non uniforme. Nelle applicazioni servono il confronto tra le soluzioni, che è piuttosto laborioso ottenere nel caso di soluzioni di viscosità e in particolar modo nel caso degenere ellittico non uniforme, la costruzione di funzioni test e di funzioni barriera, che possono essere considerati sottoprodotti della presente ricerca.Si cercherà di ottenere risultati di singolarità eliminabili anche senza condizioni di crescita intorno alle singolarità, esistenza di soluzioni intere per equazioni ellittiche degeneri e regolarità globale delle soluzioni anche in domini con frontiera non eccessivamente regolari.Le attività del progetto consistono nella ricerca e nello studio di materiale bibliografico, collaborazioni con esperti italiani e internazionali, attraverso inviti e visite all'estero, partecipazione e organizzazione di convegni e workshop, e saranno illustrate in occasione di conferenze nazionali e internazionali oltre che in seminari tecnici e informativi.