Giovanni VINCENZI | ALGEBRA I / ALGEBRA II

cod. 0512300038

ALGEBRA I / ALGEBRA II

	0512300038
	DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
	CORSO DI LAUREA
	MATEMATICA
	2020/2021

PERCORSO COMUNE

	OBBLIGATORIO
	ANNO CORSO 1
	ANNO ORDINAMENTO 2018
	ANNUALE

MODULI

	SSD	CFU	ORE	ATTIVITÀ	TIPO DI ATTIVITÁ FORMATIVA
1	ALGEBRA I
	MAT/02	6	48	LEZIONE	BASE
2	ALGEBRA II
	MAT/02	6	48	LEZIONE	BASE

DOCENTI

	COSTANTINO DELIZIA2 T Curriculum
	GIOVANNI VINCENZI1 Curriculum

	Obiettivi
	SCOPO DI QUESTO INSEGNAMENTO È LO STUDIO DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE IN GENERALE, E, IN PARTICOLARE, DI ALCUNE STRUTTURE NOTEVOLI QUALI I GRUPPI, GLI ANELLI, GLI SPAZI VETTORIALI. 1. CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE: - CONOSCERE GLI ASPETTI PRINCIPALI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI; - CONOSCERE I PRINCIPALI ASPETTI DELLA TEORIA GENERALE DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE; - AVERE UNA CONOSCENZA APPROFONDITA DI PARTICOLARI STRUTTURE ALGEBRICHE: I GRUPPI, GLI ANELLI, GLI SPAZI VETTORIALI. 2. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: OBIETTIVO DELL'INSEGNAMENTO È DI RENDERE LO STUDENTE CAPACE DI RICONOSCERE E UTILIZZARE STRUTTURE ALGEBRICHE QUALI GRUPPI, ANELLI E SPAZI VETTORIALI. LO STUDENTE DOVRÀ INOLTRE ESSERE IN GRADO DI DISTINGUERE INSIEMI FINITI ED INFINITI DI DIVERSE CARDINALITÀ. L'INSEGNAMENTO TENDERÀ A FAVORIRE LA CAPACITÀ DELLO STUDENTE DI ESPORRE IN MODO CHIARO E RIGOROSO LE CONOSCENZE ACQUISITE. L'INSEGNAMENTO HA POI LO SCOPO DI ABITUARE LO STUDENTE A FORMULARE PROBLEMI ED A RAGIONARE IN MODO RIGOROSO. LO STUDENTE DOVRA' ESSERE IN GRADO DI ENUNCIARE IN MODO CORRETTO E RIGOROSO DEFINIZIONI, PROBLEMI E TEOREMI RIGUARDANTI I CONTENUTI DELL'INSEGNAMENTO STESSO. DOVRÀ ESSER INOLTRE IN GRADO DI RISOLVERE ESERCIZI.

SCOPO DI QUESTO INSEGNAMENTO È LO STUDIO DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE IN GENERALE, E, IN PARTICOLARE, DI ALCUNE STRUTTURE NOTEVOLI QUALI I GRUPPI, GLI ANELLI, GLI SPAZI VETTORIALI.

1. CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE:
- CONOSCERE GLI ASPETTI PRINCIPALI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI;
- CONOSCERE I PRINCIPALI ASPETTI DELLA TEORIA GENERALE DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE;
- AVERE UNA CONOSCENZA APPROFONDITA DI PARTICOLARI STRUTTURE ALGEBRICHE: I GRUPPI, GLI ANELLI, GLI SPAZI VETTORIALI.

2. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
OBIETTIVO DELL'INSEGNAMENTO È DI RENDERE LO STUDENTE CAPACE DI RICONOSCERE E UTILIZZARE STRUTTURE ALGEBRICHE QUALI GRUPPI, ANELLI E SPAZI VETTORIALI. LO STUDENTE DOVRÀ INOLTRE ESSERE IN GRADO DI DISTINGUERE INSIEMI FINITI ED INFINITI DI DIVERSE CARDINALITÀ.
L'INSEGNAMENTO TENDERÀ A FAVORIRE LA CAPACITÀ DELLO STUDENTE DI ESPORRE IN MODO CHIARO E RIGOROSO LE CONOSCENZE ACQUISITE.
L'INSEGNAMENTO HA POI LO SCOPO DI ABITUARE LO STUDENTE A FORMULARE PROBLEMI ED A RAGIONARE IN MODO RIGOROSO.
LO STUDENTE DOVRA' ESSERE IN GRADO DI ENUNCIARE IN MODO CORRETTO E RIGOROSO DEFINIZIONI, PROBLEMI E TEOREMI RIGUARDANTI I CONTENUTI DELL'INSEGNAMENTO STESSO. DOVRÀ ESSER INOLTRE IN GRADO DI RISOLVERE ESERCIZI.

	Prerequisiti
	CONOSCENZE ACQUISITE NEI CORSI DI SCUOLA SUPERIORE.

	Contenuti
	TEORIA DEGLI INSIEMI. NOZIONI FONDAMENTALI. OPERAZIONI SUGLI INSIEMI E LORO PROPRIETÀ. INSIEME DELLE PARTI DI UN INSIEME. PRODOTTO CARTESIANO E CORRISPONDENZE TRA INSIEMI. APPLICAZIONI. IMMAGINE E CONTROIMMAGINE E LORO PROPRIETÀ. APPLICAZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIETTIVE. APPLICAZIONI COMPOSTE. INVERSA DI UNA APPLICAZIONE BIETTIVA. INVERSA DESTRA E SINISTRA.PRINCIPIO DI INDUZIONE NELLE DUE FORME. DEFINIZIONE PER INDUZIONE. ASSIOMA DELLA SCELTA. ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO. IL PRINCIPIO DI INCLUSIONE/ESCLUSIONE. NUMERO DELLE APPLICAZIONI E DELLE APPLICAZIONI INIETTIVE DI UN INSIEME FINITO IN UN ALTRO. NUMERO DELLE PERMUTAZIONI DI UN INSIEME FINITO. NUMERO DEI SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME FINITO. COEFFICIENTI BINOMIALI. FORMULA DEL BINOMIO. RELAZIONI D’EQUIVALENZA E PARTIZIONI. CLASSI D’EQUIVALENZA. INSIEME QUOZIENTE. TEOREMA FONDAMENTALE. CONGRUENZE TRA INTERI. DEFINIZIONE, COMPATIBILITÀ CON LA SOMMA ED IL PRODOTTO. INTERI MODULO N, LORO SOMMA E PRODOTTO. INTERI INVERTIBILI MODULO N. EQUAZIONI CONGRUENZIALI LINEARI. RELAZIONI D’ORDINE. ELEMENTI MINIMALI E MASSIMALI. MINIMO E MASSIMO. MINORANTI E MAGGIORANTI. ESTREMO INFERIORE ED ESTREMO SUPERIORE. DIAGRAMMI DI HASSE. INSIEMI TOTALMENTE ORDINATI. INSIEMI BENE ORDINATI. RETICOLI. INSIEMI INDUTTIVI. LEMMA DI ZORN. INSIEMI EQUIPOTENTI. CARDINALITÀ DI UN INSIEME. CONFRONTO TRA CARDINALI. TEOREMI DI CANTOR, SCHRODER, BERNSTEIN (SENZA DIM.). TEOREMA DI HARTOGS (SENZA DIM.). TEOREMA DI TRICOTOMIA. TEOREMA DI CANTOR. CARDINALITÀ DI P(S). INSIEMI FINITI ED INFINITI. TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DEGLI INSIEMI INFINITI. INSIEMI NUMERABILI. UNIONE DI UNA SUCCESSIONE DI INSIEMI NUMERABILI. CARDINALITÀ DI Z, Q ED R. LA POTENZA DEL CONTINUO. IPOTESI DEL CONTINUO. IPOTESI GENERALIZZATA DEL CONTINUO. NOZIONI FONDAMENTALI SULLE STRUTTURE ALGEBRICHE. LEGGI DI COMPOSIZIONE INTERNA, LEGGI COMMUTATIVE, LEGGI ASSOCIATIVE, PARTI STABILI, OPERAZIONE INDOTTA, ELEMENTO NEUTRO, ELEMENTI SIMMETRIZZABILI. PARTE STABILE GENERATA DA UNA PARTE. TEOREMA DI ASSOCIATIVITÀ (SENZA DIM.). ELEMENTI REGOLARI, TEOREMA FONDAMENTALE E COROLLARIO RELATIVO AGLI INSIEMI FINITI. CONGRUENZE, OPERAZIONE QUOZIENTE. NOZIONE DI STRUTTURA ALGEBRICA. TEOREMA DI OMOMORFISMO. OPERAZIONI ESTERNE. ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI. DEFINIZIONE DI GRUPPO. SOTTOGRUPPI, CARATTERIZZAZIONI. INTERSEZIONE DI SOTTOGRUPPI, SOTTOGRUPPO GENERATO DA UNA PARTE, SOTTOGRUPPO GENERATO DALL'UNIONE DI UNA FAMIGLIA DI SOTTOGRUPPI. GRUPPI DI ORDINE 6, GRUPPI SIMMETRICI, GRUPPO GENERALE LINEARE DI GRADO N SU UN ANELLO COMMUTATIVO UNITARIO. EQUIVALENZE IN UN GRUPPO, INDICE DI UN SOTTOGRUPPO, TEOREMA DI LAGRANGE. SOTTOGRUPPI NORMALI, GRUPPO QUOZIENTE. SOTTOGRUPPI DI UN GRUPPO QUOZIENTE. SOTTOGRUPPI E QUOZIENTI DI Z. TEOREMI DI OMOMORFISMO. TEOREMA DI CAYLEY. GRUPPI CICLICI. PERIODO DI UN ELEMENTO. ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ANELLI. DEFINIZIONE, REGOLE DI CALCOLO, DIVISORI DELLO ZERO, ELEMENTI INVERTIBILI. DOMINI DI INTEGRITÀ, CORPI, CAMPI. SOTTOANELLI, SOTTOCORPI. ESEMPI. INTERSEZIONE DI SOTTOANELLI, SOTTOANELLO GENERATO DA UNA PARTE. IDEALI DI UN ANELLO, ANELLI UNITARI PRIVI DI IDEALI NON BANALI. IDEALI MASSIMALI. TEOREMA DI KRULL. CONGRUENZE IN UN ANELLO, ANELLO QUOZIENTE, SOTTOANELLI ED IDEALI DI UN ANELLO QUOZIENTE, ANELLO QUOZIENTE RISPETTO AD UN IDEALE MASSIMALE. TEOREMI DI OMOMORFISMO. L’ANELLO DEGLI INTERI ED I SUOI QUOZIENTI. CARATTERISTICA DI UN ANELLO UNITARIO. ELEMENTI DI TEORIA DEGLI SPAZI VETTORIALI SPAZI VETTORIALI SINISTRI E DESTRI SU UN CORPO. SPAZI VETTORIALI SU CAMPI. REGOLE DI CALCOLO. SOTTOSPAZI. SOTTOSPAZIO GENERATO DA UNA PARTE. COMBINAZIONI LINEARI. DIPENDENZA LINEARE. PARTI LIBERE. BASI. TEOREMA DI ESISTENZA DELLE BASI. DIMENSIONE. SPAZI QUOZIENTE. OMOMORFISMI DI SPAZI VETTORIALI. TEOREMI DI OMOMORFISMO.

Contenuti

TEORIA DEGLI INSIEMI. NOZIONI FONDAMENTALI. OPERAZIONI SUGLI INSIEMI E LORO PROPRIETÀ. INSIEME DELLE PARTI DI UN INSIEME. PRODOTTO CARTESIANO E CORRISPONDENZE TRA INSIEMI. APPLICAZIONI. IMMAGINE E CONTROIMMAGINE E LORO PROPRIETÀ. APPLICAZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIETTIVE. APPLICAZIONI COMPOSTE. INVERSA DI UNA APPLICAZIONE BIETTIVA. INVERSA DESTRA E SINISTRA.PRINCIPIO DI INDUZIONE NELLE DUE FORME. DEFINIZIONE PER INDUZIONE. ASSIOMA DELLA SCELTA.

ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO. IL PRINCIPIO DI INCLUSIONE/ESCLUSIONE. NUMERO DELLE APPLICAZIONI E DELLE APPLICAZIONI INIETTIVE DI UN INSIEME FINITO IN UN ALTRO. NUMERO DELLE PERMUTAZIONI DI UN INSIEME FINITO. NUMERO DEI SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME FINITO. COEFFICIENTI BINOMIALI. FORMULA DEL BINOMIO.

RELAZIONI D’EQUIVALENZA E PARTIZIONI. CLASSI D’EQUIVALENZA. INSIEME QUOZIENTE. TEOREMA FONDAMENTALE.

CONGRUENZE TRA INTERI. DEFINIZIONE, COMPATIBILITÀ CON LA SOMMA ED IL PRODOTTO. INTERI MODULO N, LORO SOMMA E PRODOTTO. INTERI INVERTIBILI MODULO N. EQUAZIONI CONGRUENZIALI LINEARI.
RELAZIONI D’ORDINE. ELEMENTI MINIMALI E MASSIMALI. MINIMO E MASSIMO. MINORANTI E MAGGIORANTI. ESTREMO INFERIORE ED ESTREMO SUPERIORE. DIAGRAMMI DI HASSE. INSIEMI TOTALMENTE ORDINATI. INSIEMI BENE ORDINATI. RETICOLI. INSIEMI INDUTTIVI. LEMMA DI ZORN.

INSIEMI EQUIPOTENTI. CARDINALITÀ DI UN INSIEME. CONFRONTO TRA CARDINALI. TEOREMI DI CANTOR, SCHRODER, BERNSTEIN (SENZA DIM.). TEOREMA DI HARTOGS (SENZA DIM.). TEOREMA DI TRICOTOMIA. TEOREMA DI CANTOR. CARDINALITÀ DI P(S). INSIEMI FINITI ED INFINITI. TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DEGLI INSIEMI INFINITI. INSIEMI NUMERABILI. UNIONE DI UNA SUCCESSIONE DI INSIEMI NUMERABILI. CARDINALITÀ DI Z, Q ED R. LA POTENZA DEL CONTINUO. IPOTESI DEL CONTINUO. IPOTESI GENERALIZZATA DEL CONTINUO.

NOZIONI FONDAMENTALI SULLE STRUTTURE ALGEBRICHE. LEGGI DI COMPOSIZIONE INTERNA, LEGGI COMMUTATIVE, LEGGI ASSOCIATIVE, PARTI STABILI, OPERAZIONE INDOTTA, ELEMENTO NEUTRO, ELEMENTI SIMMETRIZZABILI. PARTE STABILE GENERATA DA UNA PARTE. TEOREMA DI ASSOCIATIVITÀ (SENZA DIM.). ELEMENTI REGOLARI, TEOREMA FONDAMENTALE E COROLLARIO RELATIVO AGLI INSIEMI FINITI. CONGRUENZE, OPERAZIONE QUOZIENTE. NOZIONE DI STRUTTURA ALGEBRICA. TEOREMA DI OMOMORFISMO. OPERAZIONI ESTERNE.

ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI. DEFINIZIONE DI GRUPPO. SOTTOGRUPPI, CARATTERIZZAZIONI. INTERSEZIONE DI SOTTOGRUPPI, SOTTOGRUPPO GENERATO DA UNA PARTE, SOTTOGRUPPO GENERATO DALL'UNIONE DI UNA FAMIGLIA DI SOTTOGRUPPI. GRUPPI DI ORDINE 6, GRUPPI SIMMETRICI, GRUPPO GENERALE LINEARE DI GRADO N SU UN ANELLO COMMUTATIVO UNITARIO. EQUIVALENZE IN UN GRUPPO, INDICE DI UN SOTTOGRUPPO, TEOREMA DI LAGRANGE. SOTTOGRUPPI NORMALI, GRUPPO QUOZIENTE. SOTTOGRUPPI DI UN GRUPPO QUOZIENTE. SOTTOGRUPPI E QUOZIENTI DI Z. TEOREMI DI OMOMORFISMO. TEOREMA DI CAYLEY. GRUPPI CICLICI. PERIODO DI UN ELEMENTO.

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ANELLI. DEFINIZIONE, REGOLE DI CALCOLO, DIVISORI DELLO ZERO, ELEMENTI INVERTIBILI. DOMINI DI INTEGRITÀ, CORPI, CAMPI. SOTTOANELLI, SOTTOCORPI. ESEMPI. INTERSEZIONE DI SOTTOANELLI, SOTTOANELLO GENERATO DA UNA PARTE. IDEALI DI UN ANELLO, ANELLI UNITARI PRIVI DI IDEALI NON BANALI. IDEALI MASSIMALI. TEOREMA DI KRULL. CONGRUENZE IN UN ANELLO, ANELLO QUOZIENTE, SOTTOANELLI ED IDEALI DI UN ANELLO QUOZIENTE, ANELLO QUOZIENTE RISPETTO AD UN IDEALE MASSIMALE. TEOREMI DI OMOMORFISMO. L’ANELLO DEGLI INTERI ED I SUOI QUOZIENTI. CARATTERISTICA DI UN ANELLO UNITARIO.

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI SPAZI VETTORIALI SPAZI VETTORIALI SINISTRI E DESTRI SU UN CORPO. SPAZI VETTORIALI SU CAMPI. REGOLE DI CALCOLO. SOTTOSPAZI. SOTTOSPAZIO GENERATO DA UNA PARTE. COMBINAZIONI LINEARI. DIPENDENZA LINEARE. PARTI LIBERE. BASI. TEOREMA DI ESISTENZA DELLE BASI. DIMENSIONE. SPAZI QUOZIENTE. OMOMORFISMI DI SPAZI VETTORIALI. TEOREMI DI OMOMORFISMO.

	Metodi Didattici
	IL CORSO PREVEDE 96 ORE DI DIDATTICA IN AULA DIVISE IN DUE MODULI, LA FREQUENZA NON È OBBLIGATORIA MA FORTEMENTE CONSIGLIATA. DURANTE LE LEZIONI SI AFFRONTERANNO TEMATICHE DI TIPO TEORICO AFFIANCATE COSTANTEMENTE DALLA PRESENTAZIONE DI ESEMPI ED ESERCIZI MEDIANTE I QUALI SONO CHIARITE LE MODALITÀ E I CONTESTI DI UTILIZZO DI QUANTO SPIEGATO. PER TALE MOTIVO LE ESERCITAZIONI SONO INTEGRATE NELLE LEZIONI PROGRAMMATE. SONO INFINE PREVISTE, NELL'AMBITO DELLE 96 ORE DI DIDATTICA E AL TERMINE DI CIASCUN MODULO, ALCUNE LEZIONI ESCLUSIVAMENTE DEDICATE ALLO SVOLGIMENTO DI ESERCIZI.

Metodi Didattici

IL CORSO PREVEDE 96 ORE DI DIDATTICA IN AULA DIVISE IN DUE MODULI, LA FREQUENZA NON È OBBLIGATORIA MA FORTEMENTE CONSIGLIATA.
DURANTE LE LEZIONI SI AFFRONTERANNO TEMATICHE DI TIPO TEORICO AFFIANCATE COSTANTEMENTE DALLA PRESENTAZIONE DI ESEMPI ED ESERCIZI MEDIANTE I QUALI SONO CHIARITE LE MODALITÀ E I CONTESTI DI UTILIZZO DI QUANTO SPIEGATO. PER TALE MOTIVO LE ESERCITAZIONI SONO INTEGRATE NELLE LEZIONI PROGRAMMATE.
SONO INFINE PREVISTE, NELL'AMBITO DELLE 96 ORE DI DIDATTICA E AL TERMINE DI CIASCUN MODULO, ALCUNE LEZIONI ESCLUSIVAMENTE DEDICATE ALLO SVOLGIMENTO DI ESERCIZI.

	Verifica dell'apprendimento
	LA PROVA DI ESAME È FINALIZZATA A VALUTARE NEL SUO COMPLESSO LE CONOSCENZE E LE CAPACITÀ DI COMPRENSIONE DEI CONCETTI PRESENTATI A LEZIONE, NONCHE' LA CAPACITÀ DI APPLICARE TALI CONOSCENZE NELLO STUDIO DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE. LA PROVA D’ESAME SI ARTICOLA IN UNA PROVA SCRITTA SELETTIVA ED UN COLLOQUIO ORALE. LA PROVA SCRITTA PREVEDE SEMPLICI ESERCIZI. CON IL COLLOQUIO ORALE SARANNO VALUTATE LE CONOSCENZE ACQUISITE IN MERITO A STRUTTURE ALGEBRICHE QUALI GRUPPI, ANELLI, SPAZI VETTORIALI. NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, LA VALUTAZIONE DELLE PROVA SCRITTA PESERÀ PER IL 50% MENTRE IL COLLOQUIO ORALE PER IL RESTANTE 50%. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.

Verifica dell'apprendimento

LA PROVA DI ESAME È FINALIZZATA A VALUTARE NEL SUO COMPLESSO LE CONOSCENZE E LE CAPACITÀ DI COMPRENSIONE DEI CONCETTI PRESENTATI A LEZIONE, NONCHE' LA CAPACITÀ DI APPLICARE TALI CONOSCENZE NELLO STUDIO DELLE STRUTTURE ALGEBRICHE.
LA PROVA D’ESAME SI ARTICOLA IN UNA PROVA SCRITTA SELETTIVA ED UN COLLOQUIO ORALE. LA PROVA SCRITTA PREVEDE SEMPLICI ESERCIZI. CON IL COLLOQUIO ORALE SARANNO VALUTATE LE CONOSCENZE ACQUISITE IN MERITO A STRUTTURE ALGEBRICHE QUALI GRUPPI, ANELLI, SPAZI VETTORIALI.
NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, LA VALUTAZIONE DELLE PROVA SCRITTA PESERÀ PER IL 50% MENTRE IL COLLOQUIO ORALE PER IL RESTANTE 50%. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.

	Testi
	M. CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ "LEZIONI DI ALGEBRA", LIGUORI, NAPOLI, II EDIZIONE, 2014. M.CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ. "ESERCIZI DI ALGEBRA - UNA RACCOLTA DI PROVE D'ESAME SVOLTE", LIGUORI, NAPOLI, II EDIZIONE, 2011.

	Altre Informazioni
	ULTERIORI INFORMAZIONI POSSONO ESSERE CONSULTATE SUL SITO WEB DEL DOCENTE DI CIASCUNA CLASSE.

BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2022-05-23]

Giovanni VINCENZI | ALGEBRA I / ALGEBRA II