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TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA

Patrizia LONGOBARDI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA

0522200021
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2020/2021

ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2018
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
PATRIZIA LONGOBARDI T Curriculum
Obiettivi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: SCOPO DEL CORSO È LO STUDIO DI PROPRIETÀ CLASSICHE DEI NUMERI INTERI E DI LORO APPLICAZIONI ALLA CRITTOGRAFIA. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: AL TERMINE DEL CORSO LO STUDENTE DEVE ESSERE IN GRADO DI RICONOSCERE E UTILIZZARE LE STRUTTURE ALGEBRICHE STUDIATE E DI IMPOSTARE E RISOLVERE PROBLEMI RELATIVI ALLA TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI. DEVE POI ESSERE CAPACE DI APPLICARE STRUMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ALLA CRITTOGRAFIA ED ANCHE AD ALTRE DISCIPLINE. ABILITÀ COMUNICATIVE: IL CORSO TENDERÀ A PERFEZIONARE LA CAPACITÀ DELLO STUDENTE DI ESPORRE IN MODO CHIARO E RIGOROSO LE CONOSCENZE ACQUISITE. AL TERMINE DEL CORSO LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI ENUNCIARE IN MODO CORRETTO E RIGOROSO DEFINIZIONI, PROBLEMI E TEOREMI RIGUARDANTI I CONTENUTI DEL CORSO STESSO, E DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI ORGANIZZARE AUTONOMAMENTE UN SEMINARIO SU ARGOMENTI DI TEORIA DEI NUMERI. AUTONOMIA DI GIUDIZIO: GLI STUDENTI SONO GUIDATI AD APPRENDERE IN MANIERA CRITICA E RESPONSABILE TUTTO CIÒ CHE VIENE SPIEGATO LORO IN CLASSE E A MIGLIORARE LE PROPRIE CAPACITÀ DI GIUDIZIO ATTRAVERSO LO STUDIO DEL MATERIALE DIDATTICO INDICATO DAL DOCENTE . CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: FINE ULTIMO DEL CORSO È DI SVILUPPARE NELLO STUDENTE UNA MENTALITÀ FLESSIBILE CHE PERMETTA DI AFFRONTARE FACILMENTE NUOVE E DIVERSE PROBLEMATICHE.
Prerequisiti
I CONTENUTI DEI CORSI DI ALGEBRA I E II
Contenuti
- NUMERI PRIMI, OSSERVAZIONI SULLA LORO DISTRIBUZIONE, CRIVELLO DI ERATOSTENE.
- NUMERI DI FERMAT, PRIMI DI FERMAT. NUMERI DI MERSENNE, PRIMI DI MERSENNE.
- METODO DI FERMAT PER LA RICERCA DI DIVISORI DI UN NUMERO NATURALE.
- EQUAZIONI DIOFANTINE LINEARI, CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI AFFINCHÉ ESISTANO SOLUZIONI E LORO DETERMINAZIONE.
- RICHIAMI SULLE CONGRUENZE NELL'ANELLO DEGLI INTERI. L'ANELLO Z_N. INSIEMI COMPLETI DI RESIDUI MODULO UN INTERO.
- CRITERI DI DIVISIBILITÀ, PROVA DEL NOVE. NUMERI PALINDROMI, NUMERI TRIANGOLARI.
- DIMOSTRAZIONI DEL "PICCOLO TEOREMA" DI FERMAT, DEL TEOREMA DI WILSON, DEL TEOREMA DI EULERO.
- CRITERI DI PRIMALITÀ. CRITERI DI FATTORIZZAZIONE. IL METODO "P - 1" DI POLLARD PER LA RICERCA DI DIVISORI DI UN INTERO.
- EQUAZIONI CONGRUENZIALI LINEARI, CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI AFFINCHÉ ESISTANO SOLUZIONI E METODI PER DETERMINARLE. TEOREMA CINESE DEL RESTO, SUA GENERALIZZAZIONE.
- PSEUDOPRIMI E NUMERI DI CARMICHAEL. NUMERI CHE "SUPERANO IL TEST" PER UN INTERO.
- LEGAMI TRA POLINOMI A COEFFICIENTI INTERI E POLINOMI A COEFFICIENTI IN Z_N. IL TEOREMA DI LAGRANGE. UN CRITERIO DI PRIMALITÀ CON I POLINOMI.
- FUNZIONI ARITMETICHE, FUNZIONI MOLTIPLICATIVE. LA FUNZIONE "NUMERO DEI DIVISORI" E LA FUNZIONE "SOMMA DEI DIVISORI". NUMERI PERFETTI. LA FUNZIONE DI EULERO. LA FUNZIONE DI MÖBIUS, LA
FORMULA D'INVERSIONE DI MÖBIUS. IL PRODOTTO DI DIRICHLET.
- IL GRUPPO DELLE UNITÀ DI Z_N. RADICI PRIMITIVE. LA STRUTTURA DEL GRUPPO DELLE UNITÀ DI Z_N. L'ESPONENTE UNIVERSALE. CARATTERIZZAZIONE DEI NUMERI DI CARMICHAEL.
- CONGRUENZE QUADRATICHE, IL GRUPPO DEI RESIDUI QUADRATICI, IL SIMBOLO DI LEGENDRE, IL CRITERIO DI EULERO, IL LEMMA DI GAUSS. LA LEGGE DI RECIPROCITÀ QUADRATICA. RESIDUI QUADRATICI PER MODULI ARBITRARI.
- CENNI SULLE SOMME DI QUADRATI E SUL PROBLEMA DI WARING, CONDIZIONI NECESSARIE PERCHÉ UN NUMERO NATURALE SIA SOMMA DI DUE O TRE QUADRATI.
- METODO DELLA "DISCESA INFINITA" DI FERMAT, CENNI SULLE TERNE PITAGORICHE E SULL'ULTIMO TEOREMA DI FERMAT.
- GENERALITÀ SULLA CRITTOGRAFIA. CIFRARI DI CESARE, CIFRARI AFFINI, CIFRARI CON MATRICI (O DI HILL), CIFRARI MONOALFABETICI E POLIALFABETICI, IL CIFRARIO DI VIGENÈRE.
- IL LOGARITMO DISCRETO, L’ALGORITMO BABY -STEP GIANT-STEP.
- CODICI A CHIAVE PUBBLICA, IL CRIPTOSISTEMA DI DIFFIE-HELLMAN, LA FIRMA DIGITALE, IL METODO DEL DOPPIO LUCCHETTO, IL CRIPTOSISTEMA DI MASSEY-OMURA, IL CRIPTOSISTEMA DI ELGAMAL.
- IL PROBLEMA DELLO ZAINO, IL PROBLEMA SUPERCRESCENTE DELLO ZAINO, IL CIFRARIO A CHIAVE PUBBLICA DI MERKLE-HELLMAN.
- IL SISTEMA RSA.
Metodi Didattici
LEZIONI FRONTALI. LA FREQUENZA AL CORSO, PUR NON OBBLIGATORIA, È FORTEMENTE CONSIGLIATA.
Verifica dell'apprendimento
LA PROVA DI ESAME È FINALIZZATA A VALUTARE NEL SUO COMPLESSO LE CONOSCENZE E LE CAPACITÀ DI COMPRENSIONE DEI CONCETTI PRESENTATI A LEZIONE, NONCHE' LA CAPACITÀ DI APPLICARE TALI CONOSCENZE NELLO STUDIO DELLA TEORIA DEI NUMERI CON ELEMENTI DI CRITTOGRAFIA.
LA PROVA D’ESAME CONSTA DI UN COLLOQUIO ORALE. LO STUDENTE DOVRA' MOSTRARE FAMILIARITÀ CON I CONCETTI E LE PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLA TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI E CON ALCUNI ARGOMENTI DI CRITTOGRAFIA, IN PARTICOLARE DI QUELLA A CHIAVE PUBBLICA. DOVRA' INOLTRE ESSERE IN GRADO DI RISOLVERE ESERCIZI.
LA VALUTAZIONE FINALE SARA' ESPRESSA IN TRENTESIMI. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.
Testi
G. A. JONES, J. M. JONES - ELEMENTARY NUMBER THEORY, SPRINGER, 1998 (RIST. 2003).
M. W. BALDONI, C. CILIBERTO, G. M. PIACENTINI CATTANEO - ARITMETICA, CRITTOGRAFIA E CODICI , SPRINGER, 2006.
S. LEONESI, C. TOFFALORI - NUMERI E CRITTOGRAFIA, SPRINGER, 2006.
Altre Informazioni
INDIRIZZO DI POSTA ELETTRONICA DEL DOCENTE:
PLONGOBARDI@UNISA.IT
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2022-05-23]