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TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA

Patrizia LONGOBARDI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA

0522200021
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2024/2025

ANNO ORDINAMENTO 2018
SECONDO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
PATRIZIA LONGOBARDI T Curriculum
Obiettivi
OBIETTIVO GENERALE:
OBIETTIVO DEL CORSO È LO STUDIO DI PROPRIETÀ CLASSICHE DEI NUMERI INTERI E DI LORO APPLICAZIONI ALLA CRITTOGRAFIA.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
OBIETTIVO PRIMARIO DELL'INSEGNAMENTO È APPROFONDIRE PROPRIETÀ CLASSICHE DEI NUMERI INTERI, EVIDENZIANDONE APPLICAZIONI, METODOLOGIE DIMOSTRATIVE E SVILUPPI RECENTI, E INTRODURRE CONCETTI BASILARI DI CRITTOGRAFIA, CON PARTICOLARE ATTENZIONE ALLA CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA E AL RUOLO FONDAMENTALE GIOCATO IN ESSA DA PROPRIETÀ DEI NUMERI INTERI.
LO STUDENTE, CON L’AIUTO DI NUMEROSI ESEMPI ED ESERCIZI:
- APPROFONDIRÀ PROPRIETÀ E CARATTERIZZAZIONI DEI NUMERI INTERI PRIMI, CON INFORMAZIONI ANCHE SULLA LORO DISTRIBUZIONE E SU CRIVELLI;
- STUDIERÀ CELEBRI CRITERI DI PRIMALITÀ E DI DIVISIBILITÀ, E METODI DI FATTORIZZAZIONE DI UN INTERO;
- CONOSCERÀ CLASSI NOTEVOLI DI NUMERI INTERI, QUALI PER ESEMPIO QUELLA DEI NUMERI DI FERMAT, DEI NUMERI DI MERSENNE, DEGLI PSEUDOPRIMI, DEI NUMERI DI CARMICHAEL, DEI NUMERI PERFETTI;
- SARÀ INTRODOTTO ALLO STUDIO DELLE EQUAZIONI DIOFANTEE;
- RIPRENDERÀ LO STUDIO DELLE CONGRUENZE NELL’ANELLO DEGLI INTERI, RITROVANDO IL TEOREMA DI FERMAT-EULERO E IL TEOREMA DI WILSON, E SCOPRENDONE ULTERIORI DIMOSTRAZIONI;
- AFFRONTERÀ IN MANIERA COMPLETA LO STUDIO DEI SISTEMI DI EQUAZIONI CONGRUENZIALI, PARTENDO DA QUELLE LINEARI;
- CONOSCERÀ FUNZIONI ARITMETICHE NOTEVOLI, DI SOLITO MOLTIPLICATIVE, E APPROFONDIRÀ LO STUDIO DELLA FUNZIONE DI MÖBIUS CON RELATIVA FORMULA D’INVERSIONE;
- DETERMINERÀ LA STRUTTURA DEL GRUPPO DELLE UNITÀ DI OGNI QUOZIENTE DELL’ANELLO DEGLI INTERI E QUELLA DEL GRUPPO DEI RESIDUI QUADRATICI;
- STUDIERÀ ALCUNI CELEBRI CODICI A CHIAVE SIMMETRICA, AFFRONTERÀ IL PROBLEMA DEL LOGARITMO DISCRETO, IN PARTICOLARE CONSIDERANDO L’ALGORITMO BABY STEP-GIANT STEP;
- SI SOFFERMERÀ SUI PRINCIPALI CODICI A CHIAVE PUBBLICA, IN PARTICOLARE IL NOTEVOLE R.S.A. E IL CODICE DI MERKLE-HELLMAN LEGATO AL PROBLEMA SUPERCRESCENTE DELLO ZAINO.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
OBIETTIVO DELL'INSEGNAMENTO È RENDERE LO STUDENTE CAPACE DI:
- ENUNCIARE IN MODO CORRETTO E RIGOROSO DEFINIZIONI E TEOREMI RIGUARDANTI I CONTENUTI DELL'INSEGNAMENTO STESSO, E RICOSTRUIRE CON PRECISIONE LE RELATIVE DIMOSTRAZIONI;
- STUDIARE SISTEMI DI EQUAZIONI CONGRUENZIALI;
- DETERMINARE LA STRUTTURA DEL GRUPPO DELLE CLASSI INVERTIBILI DI INTERI MODULO UN INTERO POSITIVO;
- RICONOSCERE SE UN INTERO È UN RESIDUO QUADRATICO;
- AFFRONTARE CON AUTONOMIA PROBLEMATICHE RELATIVE AI NUMERI INTERI, INDIVIDUANDONE LA GIUSTA FORMALIZZAZIONE E LA METODOLOGIA PIÙ ADATTA ALLA RISOLUZIONE;
- IMPOSTARE E RISOLVERE PROBLEMI DI NATURA COMPUTAZIONALE, SEMPLIFICANDO I CALCOLI CON L’AIUTO DI RISULTATI E METODI STUDIATI;
- APPLICARE STRUMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ALLA CRITTOGRAFIA ED ANCHE AD ALTRE DISCIPLINE.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
LO STUDENTE SARÀ GUIDATO AD APPRENDERE IN MANIERA CRITICA E RESPONSABILE TUTTO CIÒ CHE VIENE ILLUSTRATO IN AULA E A MIGLIORARE LE PROPRIE CAPACITÀ DI GIUDIZIO ANCHE ATTRAVERSO LO STUDIO DEL MATERIALE DIDATTICO INDICATO.
LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI VALUTARE LA CORRETTEZZA DI PROPOSIZIONI, INDIVIDUANDONE OPPORTUNI ESEMPI E DIMOSTRANDOLE CON UN’ARGOMENTAZIONE RIGOROSA, O CONFUTANDOLE CON L’ESIBIZIONE DI CONTROESEMPI. SARÀ CAPACE DI VALUTARE LA DIFFICOLTÀ DI RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA, ANCHE AVENTE UNA FORMULAZIONE ELEMENTARE.

ABILITÀ COMUNICATIVE:
IL CORSO TENDERÀ A PERFEZIONARE LA CAPACITÀ DELLO STUDENTE DI ESPORRE IN MODO CHIARO E RIGOROSO LE CONOSCENZE ACQUISITE, EVIDENZIANDO QUALI SONO I METODI PIÙ ADATTI DA UTILIZZARE E GLI ASPETTI PIÙ COMPLESSI DELLA PROBLEMATICA AFFRONTATA.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI:
- COMPRENDERE ED UTILIZZARE UN LINGUAGGIO MATEMATICO FORMALE;
- COSTRUIRE ESEMPI E/O CONTROESEMPI;
- RISOLVERE PROBLEMI RELATIVI AGLI ARGOMENTI TRATTATI;
- CAPIRE, ANALIZZARE E RICOSTRUIRE LA STRUTTURA DI DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE;
- UTILIZZARE LE IDEE FONDAMENTALI DI ALCUNE DIMOSTRAZIONI ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI DURANTE IL CORSO.
FINE ULTIMO DEL CORSO È DI SVILUPPARE NELLO STUDENTE UNA MENTALITÀ FLESSIBILE CHE PERMETTA DI AFFRONTARE FACILMENTE NUOVE E DIVERSE PROBLEMATICHE.
Prerequisiti
I CONTENUTI DEI CORSI DI ALGEBRA I/II E ALGEBRA III.
Contenuti
TEORIA DEI NUMERI (38 ORE):
- NUMERI PRIMI, OSSERVAZIONI SULLA LORO DISTRIBUZIONE, CRIVELLO DI ERATOSTENE.
- NUMERI DI FERMAT, PRIMI DI FERMAT. NUMERI DI MERSENNE, PRIMI DI MERSENNE.
- METODO DI FERMAT PER LA RICERCA DI DIVISORI DI UN NUMERO NATURALE.
- EQUAZIONI DIOFANTINE LINEARI, CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI AFFINCHÉ ESISTANO SOLUZIONI E LORO DETERMINAZIONE.
- RICHIAMI SULLE CONGRUENZE NELL'ANELLO DEGLI INTERI. L'ANELLO Z_N. INSIEMI COMPLETI DI RESIDUI MODULO UN INTERO.
- CRITERI DI DIVISIBILITÀ, PROVA DEL NOVE. NUMERI PALINDROMI, NUMERI TRIANGOLARI.
- DIMOSTRAZIONI DEL "PICCOLO TEOREMA" DI FERMAT, DEL TEOREMA DI WILSON, DEL TEOREMA DI EULERO.
- CRITERI DI PRIMALITÀ. CRITERI DI FATTORIZZAZIONE. IL METODO "P - 1" DI POLLARD PER LA RICERCA DI DIVISORI DI UN INTERO.
- EQUAZIONI CONGRUENZIALI LINEARI, CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI AFFINCHÉ ESISTANO SOLUZIONI E METODI PER DETERMINARLE. TEOREMA CINESE DEL RESTO, SUA GENERALIZZAZIONE.
- PSEUDOPRIMI E NUMERI DI CARMICHAEL. NUMERI CHE "SUPERANO IL TEST" PER UN INTERO.
- LEGAMI TRA POLINOMI A COEFFICIENTI INTERI E POLINOMI A COEFFICIENTI IN Z_N. IL TEOREMA DI LAGRANGE. UN CRITERIO DI PRIMALITÀ CON I POLINOMI.
- FUNZIONI ARITMETICHE, FUNZIONI MOLTIPLICATIVE. LA FUNZIONE "NUMERO DEI DIVISORI" E LA FUNZIONE "SOMMA DEI DIVISORI". NUMERI PERFETTI. LA FUNZIONE DI EULERO. LA FUNZIONE DI MÖBIUS, LA FORMULA D'INVERSIONE DI MÖBIUS. IL PRODOTTO DI DIRICHLET.
- IL GRUPPO DELLE UNITÀ DI Z_N. RADICI PRIMITIVE. LA STRUTTURA DEL GRUPPO DELLE UNITÀ DI Z_N. L'ESPONENTE UNIVERSALE. CARATTERIZZAZIONE DEI NUMERI DI CARMICHAEL.
- CONGRUENZE QUADRATICHE, IL GRUPPO DEI RESIDUI QUADRATICI, IL SIMBOLO DI LEGENDRE, IL CRITERIO DI EULERO, IL LEMMA DI GAUSS. LA LEGGE DI RECIPROCITÀ QUADRATICA. RESIDUI QUADRATICI PER MODULI ARBITRARI.
- CENNI SULLE SOMME DI QUADRATI E SUL PROBLEMA DI WARING, CONDIZIONI NECESSARIE PERCHÉ UN NUMERO NATURALE SIA SOMMA DI DUE O TRE QUADRATI.
- METODO DELLA "DISCESA INFINITA" DI FERMAT, CENNI SULLE TERNE PITAGORICHE E SULL'ULTIMO TEOREMA DI FERMAT.

CRITTOGRAFIA (10 ORE):
- GENERALITÀ SULLA CRITTOGRAFIA. CIFRARI DI CESARE, CIFRARI AFFINI, CIFRARI CON MATRICI (O DI HILL), CIFRARI MONOALFABETICI E POLIALFABETICI, IL CIFRARIO DI VIGENÈRE.
- IL LOGARITMO DISCRETO, L’ALGORITMO BABY -STEP GIANT-STEP.
- CODICI A CHIAVE PUBBLICA, IL CRIPTOSISTEMA DI DIFFIE-HELLMAN, LA FIRMA DIGITALE, IL METODO DEL DOPPIO LUCCHETTO, IL CRIPTOSISTEMA DI MASSEY-OMURA, IL CRIPTOSISTEMA DI ELGAMAL.
- IL PROBLEMA DELLO ZAINO, IL PROBLEMA SUPERCRESCENTE DELLO ZAINO, IL CIFRARIO A CHIAVE PUBBLICA DI MERKLE-HELLMAN.
- IL SISTEMA RSA.
Metodi Didattici
LEZIONI FRONTALI. LA FREQUENZA AL CORSO, PUR NON OBBLIGATORIA, È FORTEMENTE CONSIGLIATA.
Verifica dell'apprendimento
LA PROVA DI ESAME È FINALIZZATA A VALUTARE NEL SUO COMPLESSO LE CONOSCENZE E LE CAPACITÀ DI COMPRENSIONE DEI CONCETTI PRESENTATI A LEZIONE, NONCHE' LA CAPACITÀ DI APPLICARE TALI CONOSCENZE NELLO STUDIO DELLA TEORIA DEI NUMERI CON ELEMENTI DI CRITTOGRAFIA.
LA PROVA D’ESAME CONSTA DI UN COLLOQUIO ORALE. LO STUDENTE DOVRA' MOSTRARE FAMILIARITÀ CON I CONCETTI E LE PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLA TEORIA ELEMENTARE DEI NUMERI E CON ALCUNI ARGOMENTI DI CRITTOGRAFIA, IN PARTICOLARE DI QUELLA A CHIAVE PUBBLICA. DOVRA' INOLTRE ESSERE IN GRADO DI RISOLVERE ESERCIZI.
LA VALUTAZIONE FINALE SARA' ESPRESSA IN TRENTESIMI. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.
Testi
G. A. JONES, J. M. JONES - ELEMENTARY NUMBER THEORY, SPRINGER, 1998 (RIST. 2003).
M. W. BALDONI, C. CILIBERTO, G. M. PIACENTINI CATTANEO - ARITMETICA, CRITTOGRAFIA E CODICI , SPRINGER, 2006.
S. LEONESI, C. TOFFALORI - NUMERI E CRITTOGRAFIA, SPRINGER, 2006.

Altre Informazioni
INDIRIZZO DI POSTA ELETTRONICA DEL DOCENTE:
PLONGOBARDI@UNISA.IT
WEBSITE:
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Orari Lezioni

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