Giacomo LENZI | Progetti

SEMANTICHE ALGEBRICHE PER LOGICHE NON CLASSICHE

Così come le scoperte scientifiche portano a nuove tecnologie, gli sviluppi tecnologici aprono nuove prospettive scientifiche. Lo scenario offerto dalle logiche polivalenti è al giorno d'oggi riconosciuto come il principale mezzo per ragionare formalmente sulle informazioni vaghe. Ciò nonostante, le sfide che le tecnologie e i fenomeni reali ancora comportano sono ardue ma rilevanti.Un carattere distintivo delle applicazioni nel mondo reale è che hanno a che fare con eventi "incerti" ed "imprecisi" e questi due tipi di eventi giungono in forme intimamente correlate. Sebbene nello studio di tali aspetti siano stati conseguiti importanti sviluppi scientifici, manca ancora un ambiente soddisfacente che permetta di trattarli in maniera unificata: molti sistemi concreti, come i sistemi esperti in medicina, dove proposizioni vaghe (sintomi dei pazienti) e valori di incertezza (interpretazioni statistiche) coesistono, si occupano di questi fenomeni in maniera ancora insoddisfacente.Il presente progetto è volto principalmente all'investigazione degli aspetti logici ed algebrici dell'incertezza in relazione all'imprecisione.Il nostro obiettivo principale è contribuire alla nascita di un sistema formale in cui gli aspetti "incerti" ed "imprecisi" possano essere trattati in maniera integrata. Ciò è desiderabile, non sono dal punto di vista matematico, ma anche da quello applicativo.Segue la descrizione in dettaglio dei punti fondamentali del progetto:A. TEOREMI DI RAPPRESENTAZIONE PER ALGEBRE DELLE LOGICHE A PIU' VALORIIl teorema di Di Nola afferma che ogni MV-algebra può essere immersa in un'algebra di funzioni a valori in un'ultrapotenza dell'intervallo unitario dei reali. Studieremo come questa rappresentazione dipende dalla cardinalità dell'algebra da immergere. Cercheremo di stabilire quando l'algebra di funzioni può essere scelta univocamente per una classe di MV-algebre. Quando ciò è possibile, sarà naturale chiedersi se esiste un'algebra canonica (p.e. definibile) con tale proprietà.B. TEORIA DEI MODELLI PER LE LOGICHE POLIVALENTIIl nostro progetto consiste nell'uso del forcing per provare un teorema di omissione dei tipi per la logica di Lukasiewicz e nel descrivere la classe dei modelli dati dagli operatori di forcing.C. RETICOLI RESIDUATI, MODULI E LORO APPLICAZIONILa classe dei reticoli residuati è un ambiente ideale in cui affrontare da diversi punti di vista questioni sia di carattere matematico che informatico.Per quanto riguarda il collegamento con la logica, ci aspettiamo di poter caratterizzare le traduzioni tra linguaggi e le interpretazioni tra sistemi deduttivi del calcolo proposizionale. Riguardo alle applicazioni all'informatica, confidiamo di poter contribuire ad una miglioramento di diverse classi di operatori di compressione e di morfologia matematica per il trattamento delle immagini digitali.D. TOPOI DI GROTHENDIECK E MORITA-EQUIVALENZELa teoria dei topoi e delle Morita-equivalenze offre un nuovo e fruttuoso punto di vista per lo studio delle MV-algebre.E. GEOMETRIA ALGEBRICA PER LE MV-ALGEBREIntendiamo applicare le tecniche di geometria algebrica universale sviluppate da Plotkin alla varietà delle MV-algebre e speriamo che queste tecniche diano informazioni sulla logica di Lukasiewicz eventualmente interpretata in una MV-algebra qualunque.F. LOGICA QUANTISTICASi intendono studiare misure di probabilità su reticoli non-distributivi ortocomplementati che corrispondono agli stati della fisica quantistica.