Giacomo LENZI | Progetti

APPROCCI ALGEBRICI E GEOMETRICI ALLE LOGICHE A PIÙ VALORI

Così come le scoperte scientifiche portano a nuove tecnologie, gli sviluppi tecnologici aprono nuove prospettive scientifiche. Lo scenario offerto dalle logiche polivalenti è al giorno d'oggi riconosciuto come il principale mezzo per ragionare formalmente sulle informazioni vaghe. Ciò nonostante, le sfide che le tecnologie e i fenomeni reali ancora comportano sono ardue ma rilevanti.I nostri metodi di ricerca sono altamente interdisciplinari. Infatti, per ottenere i risultati brevemente descritti più sotto, intendiamo utilizzare strumenti che spaziano dalla teoria delle categorie, alla geometria algebrica, passando per gli spazi funzionali e la teoria della probabilità. In contrasto con il classico approccio puramente algebrico, ciò rende il nostro approccio altamente innovativo. Inoltre le competenze sviluppate dal nostro gruppo nel corso degli anni, ci rendono un centro di eccellenza per lo studio di questi sistemi logici e garantiscono la riuscita del progetto.Segue la descrizione in dettaglio dei punti principali del progetto:A. Recentemente sono stati presentati due risultati di rappresentazione per fasci per le MV-algebre. Il primo di Filipoiu-Georgescu descrive le MV-algebre in termini di fasci su spazi compatti con stalk di algebre locali. Il secondo, di Dubuc-Poveda, rappresenta le MV-algebre come fasci su particolari spazi spettrali con stalk linearmente ordinati. Intendiamo studiare a fondo il rapporto tra le due rappresentazioni e trovare una maniera per passare direttamente da una all’altra. B. Nell’ambito della teoria delle dualità, le sottocategorie delle MV-algebre semisemplici e finitamente presentate sono quelle per le quali è stato possibile ottenere dualità di carattere geometrico. Il nostro attuale obiettivo è quello di dimostrare una dualità per l’intera classe delle MV-algebre usando estensioni non standard dei reali, sfruttando il teorema di Di Nola.C. Ogni MV-algebra possiede una sottalgebra di Boole massimale, detto scheletro booleano. Similmente, ogni MV-algebra possiede una sottalgebra massimale che appartiene alla varietà generata da {0,1/n,…,n-1/n,1}. Proponiamo di studiare la nozione di “n-scheletro” per le MV-algebre e esportarlo come invariante nello studio dei gruppi abeliani reticolari.D. La logica di Łukasiewicz al primo ordine non è completa rispetto alle strutture in cui le valutazioni vanno in [0,1]. Tuttavia si possono considerare frammenti di questa logica con proprietà migliori. Le MV-algebre monadiche rappresentano la controparte algebrica del frammento del prim’ordine con una sola variabile. Ci proponiamo di studiare sottavarietà di queste strutture algerbiche, che naturalmente corrispondono a estensioni della logica di Łukasiewicz. E. Le MV-algebre di Riesz sono MV-algebre dotate di prodotto scalare per un numero reale in [0,1]. Un primo obiettivo è quello di studiare strutture intermedie dove gli scalari variano in un sottoanello C dei reali. Un secondo obiettivo è quello di approfondire il legame tra logica e analisi funzionale attraverso le MV-algebre di Riesz. Nello specifico, proveremo a caratterizzare i completamenti in norma e in ordine della MV-algebra di Riesz libera, attraverso l’introduzione del concetto di limite da un punto di vista logico.F. Logiche modali e logiche a più valori sono due risposte al problema di gestire l’imprecisione del linguaggio naturale. La logica modale si è rivelata molto potente nel descrivere sistemi formali adeguati a gestire gli aspetti temporali, epistemologici, di contingenza o deontologici; mentre la logica a più valori si occupa di ragionamenti formali con predicati vaghi. Ci proponiamo di combinare logica modale e logica di Łukasiewicz usando gli strumenti della teoria delle dualità. Queste rappresentazioni permettono di approcciare le logiche modali a più valori da un punto di vista nuovo, fornendo assiomatizzazioni e risultati che andranno a complementare la letteratura esistente.