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ALGEBRA III

Carmine MONETTA ALGEBRA III

0512300041
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA
MATEMATICA
2024/2025

OBBLIGATORIO
ANNO CORSO 2
ANNO ORDINAMENTO 2018
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
224ESERCITAZIONE
PATRIZIA LONGOBARDI T Curriculum
CARMINE MONETTA Curriculum
AppelloData
ALGEBRA III08/01/2025 - 14:00
ALGEBRA III08/01/2025 - 14:00
ALGEBRA III28/01/2025 - 14:00
ALGEBRA III28/01/2025 - 14:00
ALGEBRA III18/02/2025 - 14:00
ALGEBRA III18/02/2025 - 14:00
Obiettivi
OBIETTIVO GENERALE:
L’OBIETTIVO DEL CORSO È FORNIRE ULTERIORI NOZIONI DI BASE SULLE STRUTTURE ALGEBRICHE.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
OBIETTIVO PRIMARIO DELL'INSEGNAMENTO È COMPLETARE UNA PRIMA CONOSCENZA DELLE PRINCIPALI STRUTTURE ALGEBRICHE, CON PARTICOLARE RIGUARDO AD ANELLI E CAMPI, ABITUANDO NEL CONTEMPO LO STUDENTE A FORMULARE PROBLEMI ED A RAGIONARE IN MODO RIGOROSO.
ALLO STUDENTE SARANNO RICHIESTE:
- LA CONOSCENZA DI ULTERIORI PROPRIETÀ NOTEVOLI RELATIVE AD ANELLI E A SPAZI VETTORIALI;
- L’APPROFONDIMENTO DELLO STUDIO DEI POLINOMI E DEI CAMPI;
- LA CONOSCENZA DEI PRIMI ELEMENTI DELLA TEORIA DI GALOIS.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
OBIETTIVO DELL'INSEGNAMENTO È RENDERE LO STUDENTE CAPACE DI:
- RICONOSCERE E UTILIZZARE STRUTTURE ALGEBRICHE QUALI ANELLI, SPAZI VETTORIALI E SOPRATTUTTO CAMPI;
- STUDIARE POLINOMI SAPENDONE INDIVIDUARE RADICI E FATTORI;
- EVIDENZIARE PROPRIETÀ DELLE ESTENSIONI DI CAMPI;
- COSTRUIRE CAMPI DI SPEZZAMENTO DI POLINOMI DI GRADO POSITIVO;
- ENUNCIARE IN MODO CORRETTO E RIGOROSO DEFINIZIONI E TEOREMI RIGUARDANTI I CONTENUTI DELL'INSEGNAMENTO STESSO, E RICOSTRUIRE CON PRECISIONE LE RELATIVE DIMOSTRAZIONI;
- RISOLVERE ESERCIZI E PROBLEMI RELATIVI AI CONTENUTI PROPOSTI DURANTE IL CORSO.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
LO STUDENTE SARÀ GUIDATO AD APPRENDERE IN MANIERA CRITICA E RESPONSABILE TUTTO CIÒ CHE VIENE ILLUSTRATO IN AULA E A MIGLIORARE LE PROPRIE CAPACITÀ DI GIUDIZIO ANCHE ATTRAVERSO LO STUDIO DEL MATERIALE DIDATTICO INDICATO.
LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI VALUTARE LA CORRETTEZZA DI PROPOSIZIONI, INDIVIDUANDONE OPPORTUNI ESEMPI E DIMOSTRANDOLE CON UN’ARGOMENTAZIONE RIGOROSA, O CONFUTANDOLE CON L’ESIBIZIONE DI CONTROESEMPI.

ABILITÀ COMUNICATIVE:
LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI USARE UN LINGUAGGIO MATEMATICO FORMALE, CHIARO MA RIGOROSO, PER DESCRIVERE I CONCETTI ESAMINATI DURANTE IL CORSO, PER FORMULARE POSSIBILI CONGETTURE, PER INDIVIDUARE TECNICHE DIMOSTRATIVE.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI:
- COMPRENDERE ED UTILIZZARE UN LINGUAGGIO MATEMATICO FORMALE;
- COSTRUIRE ESEMPI E/O CONTROESEMPI;
- RISOLVERE PROBLEMI RELATIVI AGLI ARGOMENTI TRATTATI;
- CAPIRE, ANALIZZARE E RICOSTRUIRE LA STRUTTURA DI DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE;
- UTILIZZARE LE IDEE FONDAMENTALI DI ALCUNE DIMOSTRAZIONI ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI DURANTE IL CORSO.
Prerequisiti
BUONA CONOSCENZA DEGLI ARGOMENTI CONTENUTI NELL'INSEGNAMENTO DI ALGEBRA I/ALGEBRA II
Contenuti
ANELLI (21 ORE = 15 + 6):
- RICHIAMI.
- ELEMENTI NILPOTENTI, ELEMENTI IDEMPOTENTI.
- ANELLO DEI QUATERNIONI SUGLI INTERI, CORPO DEI QUATERNIONI SUI REALI.
- IDEALI MASSIMALI.
- CAMPO DEI QUOZIENTI DI UN DOMINIO D'INTEGRITÀ. SOTTOCORPO MINIMO DI UN CORPO.
- ANELLO DEGLI ENDOMORFISMI DI UN GRUPPO ABELIANO, ANALOGO DEL TEOREMA DI CAYLEY.
- FATTORIZZAZIONE IN UN MONOIDE COMMUTATIVO REGOLARE. MONOIDI E ANELLI FATTORIALI, LORO CARATTERIZZAZIONE. ESEMPI. ESISTENZA DEL MASSIMO COMUN DIVISORE E DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO.
- ANELLI PRINCIPALI. ESEMPI E PROPRIETÀ. FATTORIALITÀ DI OGNI ANELLO PRINCIPALE. RICERCA DEL MASSIMO COMUN DIVISORE E DEL
MINIMO COMUNE MULTIPLO. TEOREMA DI BÉZOUT.
- ANELLI EUCLIDEI. ESEMPI E PROPRIETÀ. OGNI ANELLO EUCLIDEO È PRINCIPALE. ALGORITMO EUCLIDEO PER DETERMINARE IL MASSIMO COMUN DIVISORE.

POLINOMI (15 ORE = 11 + 4):
- COSTRUZIONE DEGLI ANELLI DELLE SERIE FORMALI E DEI POLINOMI IN UNA INDETERMINATA A COEFFICIENTI IN UN ANELLO COMMUTATIVO UNITARIO. PROPRIETÀ UNIVERSALE. TEOREMA DI ADDIZIONE DEI GRADI. ALGORITMO DELLA DIVISIONE EUCLIDEA.
- POLINOMI SU UN CAMPO.
- POLINOMI SU UN ANELLO FATTORIALE: POLINOMI IRRIDUCIBILI, POLINOMI PRIMITIVI, LORO PROPRIETÀ. LEMMA DI GAUSS.
- FATTORIALITÀ DELL'ANELLO DEI POLINOMI SU UN ANELLO FATTORIALE. CRITERIO DI EISENSTEIN.
- DERIVAZIONI, POLINOMIO DERIVATO E SUE PROPRIETÀ ELEMENTARI.
- RADICI DI UN POLINOMIO, RADICI SEMPLICI, RADICI MULTIPLE. TEOREMA DI RUFFINI E SUE IMMEDIATE CONSEGUENZE.
- POLINOMIO FONDAMENTALE SU UN CAMPO FINITO.
- PRINCIPIO D'IDENTITÀ DEI POLINOMI.
- POLINOMI IRRIDUCIBILI A COEFFICIENTI INTERI, RAZIONALI, REALI, COMPLESSI. ESEMPI.

SPAZI VETTORIALI (13 ORE = 8 + 5):
- RICHIAMI.
- SPAZI VETTORIALI ISOMORFI.
- SOMMA DIRETTA DI (UNA FAMIGLIA DI) SOTTOSPAZI E SUA CARATTERIZZAZIONE. - SOTTOSPAZI SUPPLEMENTARI, ESISTENZA DI UN SUPPLEMENTARE DI UN SOTTOSPAZIO DI UNO SPAZIO VETTORIALE.
- SPAZI VETTORIALI DI DIMENSIONE FINITA. TEOREMA DI GRASSMAN. ESEMPI
- ESISTENZA DI SPAZI VETTORIALI DI UNA QUALUNQUE DIMENSIONE SU UN QUALUNQUE CORPO. STRUTTURA ADDITIVA DI UNO SPAZIO VETTORIALE E DI UN CORPO.
- RANGO DI UN OMOMORFISMO. ESEMPI.

TEORIA DEI CAMPI (20 ORE = 12 + 8):
- ESTENSIONI DI UN CAMPO.
- ELEMENTI ALGEBRICI, ELEMENTI TRASCENDENTI.
- CARATTERIZZAZIONI DEGLI ELEMENTI ALGEBRICI SU UN SOTTOCAMPO, POLINOMIO MINIMO DI UN ELEMENTO ALGEBRICO.
- DIPENDENZA LINEARE IN UN CAMPO, GRADO DI UN CAMPO RISPETTO AD UN SUO SOTTOCAMPO, TEOREMA DI MOLTIPLICAZIONE DEI GRADI.
- ESTENSIONI SEMPLICI, ALGEBRICHE, DI GRADO FINITO.
- ESTENSIONE SIMBOLICA ALGEBRICA, ESTENSIONE SIMBOLICA TRASCENDENTE, PRIMO TEOREMA DI PROLUNGAMENTO. ESEMPI.
- CHIUSURA ALGEBRICA DI UN SOTTOCAMPO IN UN CAMPO, TEOREMA DI CANTOR. TEOREMA DI ARTIN-STEINITZ.
- CAMPO DI SPEZZAMENTO DI UN POLINOMIO, SECONDO TEOREMA DI PROLUNGAMENTO, ISOMORFISMI TRA CAMPI DI SPEZZAMENTO DI UN POLINOMIO, LIMITAZIONE DEL NUMERO DEGLI AUTOMORFISMI DI UN CAMPO DI SPEZZAMENTO DI UN POLINOMIO SUL RELATIVO SOTTOCAMPO. ESEMPI.
- SOTTOGRUPPI FINITI DEL GRUPPO MOLTIPLICATIVO DI UN CAMPO. RADICI N-ESIME DELL'UNITÀ, RADICI PRIMITIVE.
- CAMPI FINITI, LORO PROPRIETÀ.
- CAMPI ALGEBRICAMENTE CHIUSI, CHIUSURA ALGEBRICA DI UN CAMPO.
- CENNI SUL TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA E SUL TEOREMA DI WEDDERBURN.

TEORIA DI GALOIS (3 ORE = 2 + 1):
CENNI SUL GRUPPO DI GALOIS DI UN'ESTENSIONE, SUL SOTTOCAMPO A^G DEGLI INVARIANTI DI UN GRUPPO G DI AUTOMORFISMI DI UN CAMPO A, SUL GRUPPO DI GALOIS DI UN POLINOMIO, SULLE ESTENSIONI DI GALOIS, SUL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA TEORIA DI GALOIS, SUL PROBLEMA DELLA RISOLUBILITÀ PER RADICALI DI UN'EQUAZIONE, SUL TEOREMA DI RUFFINI-ABEL E SUL TEOREMA DI GALOIS.
Metodi Didattici
IL CORSO DI ALGEBRA III PREVEDE 72 ORE DI DIDATTICA IN AULA, 48 DI LEZIONI E 24 DI ESERCITAZIONI.
LA FREQUENZA AL CORSO, PUR NON OBBLIGATORIA, È FORTEMENTE CONSIGLIATA.
DURANTE LE LEZIONI SARANNO AFFRONTATE TEMATICHE DI TIPO TEORICO AFFIANCATE COSTANTEMENTE DALLA PRESENTAZIONE DI
ESEMPI ED ESERCIZI MEDIANTE I QUALI SONO CHIARITE LE MODALITÀ E I CONTESTI DI UTILIZZO DI QUANTO SPIEGATO. PER TALE MOTIVO LE ESERCITAZIONI SONO INTEGRATE NELLE LEZIONI PROGRAMMATE.
SONO INFINE PREVISTE, NELL'AMBITO DELLE 72 ORE DI DIDATTICA, ALCUNE LEZIONI ESCLUSIVAMENTE DEDICATE ALLO SVOLGIMENTO DI ESERCIZI.
Verifica dell'apprendimento
LA PROVA DI ESAME È FINALIZZATA A VALUTARE NEL SUO COMPLESSO LE CONOSCENZE E LE CAPACITÀ DI COMPRENSIONE DEI CONCETTI PRESENTATI A LEZIONE, NONCHE' LA CAPACITÀ DI APPLICARE TALI CONOSCENZE NELLO STUDIO DI STRUTTURE ALGEBRICHE, QUALI PARTICOLARI CLASSI DI ANELLI, SPAZI VETTORIALI, POLINOMI E CAMPI.
LA PROVA D’ESAME SI ARTICOLA IN UNA PROVA SCRITTA SELETTIVA ED UN COLLOQUIO ORALE. LA PROVA SCRITTA PREVEDE ALCUNI ESERCIZI. CON IL COLLOQUIO ORALE SARANNO VALUTATE LE CONOSCENZE ACQUISITE IN MERITO ALLE STRUTTURE ALGEBRICHE STUDIATE.
NELLA VALUTAZIONE FINALE, ESPRESSA IN TRENTESIMI, LA VALUTAZIONE DELLE PROVA SCRITTA PESERÀ PER IL 45% MENTRE IL COLLOQUIO ORALE PER IL RESTANTE 55%. LA LODE POTRÀ ESSERE ATTRIBUITA AGLI STUDENTI CHE DIMOSTRINO DI ESSERE IN GRADO DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E COMPETENZE ACQUISITE ANCHE IN CONTESTI DIVERSI DA QUELLI PROPOSTI A LEZIONE.
Testi
M. CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ - LEZIONI DI ALGEBRA , LIGUORI, 1994, I RISTAMPA 1996, II ED. 2014.
M. CURZIO, P. LONGOBARDI, M. MAJ - ESERCIZI DI ALGEBRA - UNA RACCOLTA DI PROVE D'ESAME SVOLTE, LIGUORI, NAPOLI, 1995, II EDIZIONE 2011.
Altre Informazioni
INDIRIZZO DI POSTA ELETTRONICA DEI DOCENTI:
PLONGOBARDI@UNISA.IT
CMONETTA@UNISA.IT
WEBSITE:
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Orari Lezioni

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