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TEORIA DEI MODELLI DI SULLIVAN E APPLICAZIONI GEOMETRICHE

Antonio DE NICOLA TEORIA DEI MODELLI DI SULLIVAN E APPLICAZIONI GEOMETRICHE

8860300004
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
Corso di Dottorato (D.M.226/2021)
MATEMATICA
2023/2024

ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2023
ANNUALE
CFUOREATTIVITÀ
210LEZIONE
ANTONIO DE NICOLA T Curriculum
Obiettivi
L'ALGEBRA DI DE RHAM DELLE FORME DIFFERENZIALI DI UNA VARIETÀ DIFFERENZIABILE DETERMINA COMPLETAMENTE GLI INVARIANTI TOPOLOGICI REALI DELLA VARIETÀ. TUTTAVIA ESSA È POCO MANEGGEVOLE ESSENDO INFINITO-DIMENSIONALE. L'ANELLO DI COOMOLOGIA DI DE RHAM FORNISCE INFORMAZIONI SULLA TOPOLOGIA DELLA VARIETÀ ED È FINITO-DIMENSIONALE NEL CASO COMPATTO. LA TEORIA DELL'OMOTOPIA REALE FORNISCE UN INVARIANTE TOPOLOGICO (DETTO MODELLO) PER LE VARIETÀ DIFFERENZIABILI CHE È PIÙ FINE RISPETTO ALL'ANELLO DI COOMOLOGIA DI DE RHAM MA CONTINUA AD ESSERE FINITO-DIMENSIONALE. ALL'INIZIO DEL CORSO SARANNO ESPOSTI ALCUNI CONCETTI BASE DELLA TEORIA DELL'OMOTOPIA REALE APPLICATA A UNA VARIETÀ DIFFERENZIABILE. UN MODELLO DI UNA VARIETÀ È DEFINITO COME UNA ALGEBRA GRADUATA CON DIFFERENZIALE (CDGA) QUASI-ISOMORFA ALL'ALGEBRA DI DE RHAM DELLE FORME DIFFERENZIALI. SI ILLUSTRERANNO ALCUNI ESEMPI DI VARIETÀ PER LE QUALI È NOTO UN MODELLO FINITO-DIMENSIONALE. L'ESEMPIO PIÙ FAMOSO È DATO DALLE VARIETÀ DI KAEHLER COMPATTE PER LE QUALI L'ANELLO DI COOMOLOGIA VISTO COME UNA CDGA CON DIFFERENZIALE ZERO FORNISCE UN MODELLO PER LA VARIETÀ CHE PER QUESTO SI DICE FORMALE. ALTRI CASI NOTEVOLI CHE SARANNO TRATTATI SONO DATI DALLE NILVARIETÀ E DALLE VARIETÀ DI SASAKI E SI ACCENNERÀ ALLA CLASSIFICAZIONE DELLE NILVARIETÀ DI SASAKI.


-CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:

SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È METTERE IN GRADO GLI STUDENTI DI COMPRENDERE IL LINGUAGGIO, LE TECNICHE ED I CONTENUTI PRINCIPALI DELLA TEORIA DEI MODELLI DI SULLIVAN E DELLE TEMATICHE CORRELATE. LO STUDENTE DOVRÀ SAPER OPERARE CON LE ALGEBRE GRADUATE COMMUTATIVE MUNITE DI DIFFERENZIALE (CDGAS) E CON I RELATIVI QUASI-ISOMORFISMI ED ESSERE IN GRADO DI FORMULARE MODELLI CONCRETI PER LE VARIETÀ ALMENO NEI CASI PIÙ SEMPLICI. LO STRUMENTO DIDATTICO PRIVILEGIATO PER IL RAGGIUNGIMENTO DI TALI OBIETTIVI SONO LE LEZIONI FRONTALI, DURANTE LE QUALI VERRANNO SVILUPPATE LE VARIE TEMATICHE DEL CORSO, MEDIANTE L’INTRODUZIONE DI CONCETTI FONDAMENTALI E LO SVILUPPO DI UNA SERIE DI TEOREMI CON RELATIVE DIMOSTRAZIONI, AFFIANCATI DA ESEMPI SIGNIFICATIVI, ESERCIZI E APPLICAZIONI.

-CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE:

LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI PRODURRE DIMOSTRAZIONI RIGOROSE DI RISULTATI CONCERNENTI O CORRELATI ALLE TEMATICHE AFFRONTATE (IDEALMENTE ANCHE PICCOLI COROLLARI DEI TEOREMI DIMOSTRATI NEL CORSO DELL’INSEGNAMENTO). LO STUDENTE DOVRÀ SAPER RICONOSCERE UNA CDGA ED UN QUASI ISOMORFISMO. DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI APPLICARE LE CONOSCENZE ACQUISITE PER OTTENERE INFORMAZIONI SUL MODELLO DI UNA VARIETÀ DIFFERENZIABILE COMPATTA E VERIFICARNE LA EVENTUALE FORMALITÀ, ALMENO NEI CASI PIÙ SEMPLICI. AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI APPLICARE COMPIUTAMENTE LA TEORIA DEI MODELLI DI SULLIVAN ALLO STUDIO DELLA TOPOLOGIA DELLE VARIETÀ DIFFERENZIABILI COMPATTE.
Prerequisiti
PER LA COMPRENSIONE DEL CORSO È ESSENZIALE AVERE FAMILIARITÀ CON I CONCETTI DI VARIETÀ DIFFERENZIABILE, CAMPO VETTORIALE, K-FORMA DIFFERENZIALE E CALCOLO DI CARTAN. UNA PRECEDENTE CONOSCENZA DEI CONCETTI DI BASE DELLA COOMOLOGIA DI DE RHAM E DEI RUDIMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA O ALGEBRA OMOLOGICA POTRÀ ESSERE UTILE PER UNA PIÙ PROFONDA COMPRENSIONE DEL CONTENUTO DEL CORSO.
Contenuti
RICHIAMI SULL'ANELLO DI COOMOLOGIA DI DE RHAM. RICHIAMI SU VARIETÀ SIMPLETTICHE E KAEHLER, DI CONTATTO E SASAKI. ALGEBRE COMMUTATIVE IN SENSO GRADUATO CON DIFFERENZIALE (CDGA).
MORFISMI E QUASI ISOMORFISMI DI CGDAS. FORMALITÀ. ESEMPI DI MODELLI: FORME INVARIANTI A SINISTRA SU UNA G-VARIETÀ. FORMALITÀ DEI GRUPPI DI LIE. NILVARIETÀ. CLASSIFICAZIONE DELLE NILVARIETÀ FORMALI (KAEHLER) E QUASI FORMALI (AD. ES. SASAKI).
Metodi Didattici
LA DIDATTICA AVVERRÀ PRINCIPALMENTE MEDIANTE LEZIONI FRONTALI. TUTTAVIA, A LEZIONE, SARANNO PROPOSTI ESERCIZI E PROBLEMI CHE LO STUDENTE DOVRÀ RISOLVERE IN AULA O COME “HOMEWORK”, ALLO SCOPO DI PROMUOVERE UNA FORMA DI APPRENDIMENTO “ATTIVO” (E, PER QUESTO, PIÙ EFFICACE), NONCHÉ L’AUTONOMIA DI GIUDIZIO SUGLI ARGOMENTI DELL’INSEGNAMENTO.
Verifica dell'apprendimento
L’ESAME CONSISTE IN UNA PROVA ORALE, CHE HA COME OBIETTIVO QUELLO DI VERIFICARE IL LIVELLO DI RAGGIUNGIMENTO DEGLI OBIETTIVI FORMATIVI INDICATI IN PRECEDENZA.

NEL CORSO DELL’ESAME LO STUDENTE DEVE DIMOSTRARE DI AVER CAPITO ED ASSIMILATO GLI ARGOMENTI SVOLTI DURANTE LE LEZIONI E DI ESSERE IN GRADO DI SPIEGARE LE NOZIONI E LE DIMOSTRAZIONI APPRESE DURANTE IL CORSO. A TAL FINE È NECESSARIO CHE LO STUDENTE SCRIVA TUTTI I PASSAGGI CHE STA SEGUENDO PER ARRIVARE ALLA CONCLUSIONE DI UN RAGIONAMENTO. SARANNO VALUTATE INOLTRE LA CAPACITÀ ESPOSITIVA E LA CAPACITÀ DI METTERE IN RELAZIONE CONCETTI E CONOSCENZE.
Testi
FÉLIX, YVES; HALPERIN, STEPHEN; THOMAS, JEAN-CLAUDE (2001), RATIONAL HOMOTOPY THEORY. NEW YORK: SPRINGER NATURE.
FÉLIX, YVES; OPREA, JOHN; TANRÉ, DANIEL (2008), ALGEBRAIC MODELS IN GEOMETRY, OXFORD: OXFORD UNIVERSITY PRESS.
GRIFFITHS, PHILLIP A.; MORGAN, JOHN W. (1981), RATIONAL HOMOTOPY THEORY AND DIFFERENTIAL FORMS, BOSTON: BIRKHÄUSER.
  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2024-12-17]