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GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Antonio DE NICOLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE

0522200008
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE
MATEMATICA
2025/2026

ANNO CORSO 1
ANNO ORDINAMENTO 2018
PRIMO SEMESTRE
CFUOREATTIVITÀ
648LEZIONE
ANTONIO DE NICOLA T Curriculum
Obiettivi
IL CORSO SI CONCENTRA SULLA GEOMETRIA RIEMANNIANA CHE È UNA BRANCA DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE CHE STUDIA UN OGGETTO MATEMATICO – DETTO “VARIETÀ RIEMANNIANA” – CHE MODELLIZZA L’IDEA DI “SPAZIO CURVO” DI DIMENSIONE ARBITRARIA.
PIÙ PRECISAMENTE, UNA VARIETÀ RIEMANNIANA È UNA VARIETÀ DIFFERENZIABILE MUNITA DI UNA STRUTTURA AGGIUNTIVA, DETTA METRICA RIEMANNIANA, CHE CONSISTE IN UN PRODOTTO INTERNO SULLO SPAZIO VETTORIALE TANGENTE IN CIASCUN PUNTO DELLA VARIETÀ. TALE PRODOTTO INTERNO VARIA DIFFERENZIABILMENTE AL VARIARE DEL PUNTO. LA METRICA RIEMANNIANA CONSENTE DI DEFINIRE SULLA VARIETÀ MOLTE DELLE USUALI NOZIONI GEOMETRICHE, QUALI ANGOLI, DISTANZE, VOLUMI, CAMMINI PIU' CORTI TRA DUE PUNTI (DETTI GEODETICI). MA SOPRATTUTTO SI DEFINISCONO CONCETTI PROPRI DEGLI SPAZI CURVI, QUALI QUELLA DI CURVATURA E DI TENSORE METRICO.

GLI OBIETTIVI PRINCIPALI DELL’INSEGNAMENTO “GEOMETRIA DIFFERENZIALE” SONO DESCRITTI COME SEGUE.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE.

SCOPO DELL’INSEGNAMENTO È METTERE IN GRADO GLI STUDENTI DI COMPRENDERE IL LINGUAGGIO, LE TECNICHE ED I CONTENUTI PRINCIPALI DELLA GEOMETRIA RIEMANNIANA E DELLE TEMATICHE CORRELATE.
LO STRUMENTO DIDATTICO PRIVILEGIATO PER IL RAGGIUNGIMENTO DI TALI OBIETTIVI SONO LE LEZIONI FRONTALI, DURANTE LE QUALI VERRANNO SVILUPPATE LE VARIE TEMATICHE DEL CORSO, MEDIANTE L’INTRODUZIONE DI CONCETTI FONDAMENTALI E LO SVILUPPO DI UNA SERIE DI TEOREMI CON RELATIVE DIMOSTRAZIONI, AFFIANCATI DA ESEMPI SIGNIFICATIVI, ESERCIZI E APPLICAZIONI.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE.

LO STUDENTE DOVRÀ ESSERE IN GRADO DI PRODURRE DIMOSTRAZIONI RIGOROSE DI RISULTATI CONCERNENTI O CORRELATI ALLE TEMATICHE AFFRONTATE (IDEALMENTE ANCHE PICCOLI COROLLARI DEI TEOREMI DIMOSTRATI NEL CORSO DELL’INSEGNAMENTO). LO STUDENTE DOVRÀ ANCHE SAPER APPLICARE LE NOZIONI FONDAMENTALI SU METRICHE RIEMANNIANE, GEODETICHE, ECC. ANCHE A CONTESTI DIVERSI, SOPRATTUTTO LA FISICA MATEMATICA, E L’ANALISI GLOBALE. AL TERMINE DELL’INSEGNAMENTO LO STUDENTE SARÀ IN GRADO DI STUDIARE LE PROPRIETÀ METRICHE DI UNA VARIETÀ RIEMANNIANA, INDIVIDUANDONE LE EQUAZIONI DELLE GEODETICHE E CALCOLANDO I TENSORI DI CURVATURA.
Prerequisiti
AVERE FAMILIARITÀ CON I CONCETTI DELL’ANALISI, DELLA GEOMETRIA E DELL’ALGEBRA LINEARE GIÀ AFFRONTATI NELLA LAUREA TRIENNALE. AVERE FAMILIARITÀ CON I CONCETTI DI VARIETÀ DIFFERENZIABILE, CAMPO VETTORIALE TANGENTE, K-FORMA DIFFERENZIALE AFFRONTATI IN UN INSEGNAMENTO BASE DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE, DI CUI QUESTO INSEGNAMENTO COSTITUISCE UN NATURALE APPROFONDIMENTO E PROSECUZIONE.
Contenuti
FIBRATI VETTORIALI E TENSORIALI (8 ORE): TENSORI, FIBRATI VETTORIALI. SEZIONI E RIFERIMENTI LOCALI. MORFISMI DI FIBRATI VETTORIALI. FIBRATI E CAMPI TENSORIALI.

METRICHE RIEMANNIANE E CONNESSIONI SU FIBRATI VETTORIALI (16 ORE): METRICHE PSEUDO-RIEMANNIANE. ISOMETRIE. ESEMPI. CONNESSIONI. DERIVATA COVARIANTE LUNGO UNA CURVA. TRASPORTO PARALLELO. CONNESSIONE DI LEVI-CIVITA.

GEODETICHE E LORO PROPRIETÀ (16 ORE): GEODETICHE. MAPPA ESPONENZIALE. LUNGHEZZA DI UNA CURVA. DISTANZA RIEMANNIANA. LE GEODETICHE SONO LE CURVE LOCALMENTE MINIMIZZANTI.

CURVATURA (8 ORE): CURVATURA RIEMANNIANA, SEZIONALE, DI RICCI E SCALARE. VARIETÀ DI EINSTEIN. SPAZI A CURVATURA COSTANTE.

TEMPO PERMETTENDO E TENENDO CONTO DELL'INTERESSE DEGLI STUDENTI POTRANNO ESSERE TRATTATI ARGOMENTI PIÙ AVANZATI O AGGIUNTIVI COME IL TEOREMA DI HOPF-RINOW O LE METRICHE DI LORENTZ.
Metodi Didattici
LA DIDATTICA AVVERRÀ PRINCIPALMENTE MEDIANTE LEZIONI FRONTALI. TUTTAVIA, A LEZIONE, SARANNO PROPOSTI ESERCIZI E PROBLEMI CHE LO STUDENTE DOVRÀ RISOLVERE IN AULA O COME “HOMEWORK”, ALLO SCOPO DI PROMUOVERE UNA FORMA DI APPRENDIMENTO “ATTIVO” (E, PER QUESTO, PIÙ EFFICACE), NONCHÉ L’AUTONOMIA DI GIUDIZIO SUGLI ARGOMENTI DELL’INSEGNAMENTO.
Verifica dell'apprendimento
MODALITÀ DI VERIFICA DELL’APPRENDIMENTO

L’ESAME FINALE È UNA PROVA ORALE STRUTTURATA PER ACCERTARE IL CONSEGUIMENTO DEGLI OBIETTIVI FORMATIVI DEL CORSO.

CONTENUTO DELLA PROVA

LO STUDENTE ILLUSTRA E SPIEGA I PRINCIPALI CONCETTI E DIMOSTRAZIONI TRATTATI DURANTE LE LEZIONI (FIBRATI VETTORIALI, CONNESSIONE E TRASPORTO PARALLELO, GEODETICHE, CURVATURA).

DEVE ESPORRE CON COMPLETEZZA TUTTI I PASSAGGI LOGICO-MATEMATICI NECESSARI PER GIUNGERE ALLE CONCLUSIONI.

CRITERI DI VALUTAZIONE

CORRETTEZZA E COMPLETEZZA DELLE SPIEGAZIONI E DELLE DIMOSTRAZIONI.

CAPACITÀ ESPOSITIVA, OVVERO CHIAREZZA, PROPRIETÀ DI LINGUAGGIO E COERENZA DELL’ARGOMENTAZIONE.

CAPACITÀ DI INTEGRAZIONE: METTERE IN RELAZIONE CONCETTI DIVERSI E CONTESTI APPLICATIVI.

SCALA DI VOTAZIONE

18–20/30: CONOSCENZA SUFFICIENTE DEI CONCETTI FONDAMENTALI E DIMOSTRAZIONE DI ALMENO ALCUNI DEI PRINCIPALI RISULTATI.

21–27/30: BUON GRADO DI PROPRIETÀ DI LINGUAGGIO E SICUREZZA NELL’ESPOSIZIONE DEI TEMI DEL CORSO.

28–30/30: ECCELLENTE PADRONANZA DEI CONTENUTI, ESPOSIZIONE PARTICOLARMENTE ACCURATA E AUTONOMA APPLICAZIONE DEGLI STRUMENTI MATEMATICI.

ATTRIBUZIONE DELLA LODE
LA LODE È RISERVATA A CHI DIMOSTRA:

CAPACITÀ DI APPLICARE AUTONOMAMENTE CONOSCENZE E TECNICHE ANCHE IN CONTESTI NON TRATTATI IN AULA.

VISIONE D’INSIEME PARTICOLARMENTE LUCIDA, UNITA A CURA DEL DETTAGLIO.
Testi
IL TESTO DI RIFERIMENTO È
M. ABATE, F. TOVENA, GEOMETRIA DIFFERENZIALE. UNITEXT 54. LA MATEMATICA PER IL 3+2. SPRINGER, 2011.

UN UTILE TESTO DI CONSULTAZIONE È
J. LEE – RIEMANNIAN MANIFOLDS: AN INTRODUCTION TO CURVATURE, SPRINGER

TESTI DI APPROFONDIMENTO
M. DO CARMO – RIEMANNIAN GEOMETRY, BIRKAUSER
P. PETERSEN – RIEMANNIAN GEOMETRY – SPRINGER
Altre Informazioni
PER QUALSIASI CHIARIMENTO È POSSIBILE CONTATTARE IL DOCENTE PER POSTA ELETTRONICA.
EMAIL DOCENTE: ANDENICOLA@UNISA.IT
Orari Lezioni

  BETA VERSION Fonte dati ESSE3 [Ultima Sincronizzazione: 2025-09-16]